Aufgabe 3 Aufgabe 4
Wir betrachten das Parallelepiped mit den Eckpunkten \(\qquad \begin{array} {l c l l c l l c l l c l} P_1 &=& (1 \, \vert \, 1 \, \vert \, 1), & P_2 &=& (6 \, \vert \, 2 \, \vert \, 2), & P_3 &=& (7 \, \vert \, 9 \, \vert \, 3), & P_4 &=& (2 \, \vert \, 8 \, \vert \, 2), \\ P_5 &=& (2 \, \vert \, 0 \, \vert \, 7), & P_6 &=& (7 \, \vert \, 1 \, \vert \, 8), & P_7 &=& (8 \, \vert \, 8 \, \vert \, 9), & P_8 &=& (3 \, \vert \, 7 \, \vert \, 8) \end{array} \) Berechnen Sie das Volumen \(V\) dieses Spates. Erklärung Lösung: Es gilt: \(\qquad V = 202 \) Erläuterung: Wir zeichnen den Punkt \(P_1\) in diesem Spat als ersten Eckpunkt aus. Die benachbarten Eckpunkte, die durch eine Kante damit verbunden sind, sind dann \(P_2\), \(P_4\) und \(P_5\). Daher wird dieses Parallelepiped festgelegt durch die drei Vektoren \(\qquad \overrightarrow{u} = \overrightarrow{P_1P_2} = \left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \overrightarrow{P_1P_4} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{w} = \overrightarrow{P_1P_5} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 6 \end{matrix} \right)\) und es gilt \(\qquad \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 43 \\ -5 \\ 8 \end{matrix} \right) \) also \(\qquad \left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w}\right] = \langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} \rangle = 202 \) und damit hat dieses Parallelepiped das Volumen \(\qquad V = \left\vert \left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} , \overrightarrow{w}\right] \right\vert = 202 \) Natürlich hätte auch ein beliebiger anderer Eckpunkt als Ausgangspunkt ausgezeichnet werden können. |  |
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