Wenn wir untersuchen wollen, ob zwei Vektoren \( \overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) kollinear sind, dann stellt sich die Frage, ob einer ein Vielfaches des anderen ist, und damit die Frage, ob es reelle Zahlen \(r\) und \(s\) gibt, so dass gilt:

\(\qquad r \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}\)

wobei entweder \(r \neq 0 \) oder \(s \neq 0\) (genau dann lässt sich nämlich einer als Vielfaches des anderen schreiben).

Wir betrachten die beiden Vektoren

\(\qquad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix} \right)\)  und  \(\overrightarrow{w} = \left(\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) \)

Die Beziehung \(r \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}\) schreibt sich explizit in der Form 

\(\qquad r \cdot \left( \begin{matrix} 6 \\ 9 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right)\)

also nach den Rechenregeln für Vektoren als
\(\qquad \left( \begin{matrix} 6 r + 4 s \\ 9 r + 6 s \end{matrix} \right) =  \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \)

Das bedeutet (komponentenweise betrachtet), dass wir reelle Zahlen \(r\) und \(s\) suchen, die gleichzeitig diese beiden Gleichungen erfüllen:

\(\qquad \begin{array} {r c r c l} 6r & + & 4 s & = & 0 \\ 9r & + & 6s & = & 0 \end{array} \)

Ein ähnliches Problem erhalten wir, wenn es um die Frage geht, ob ein Vektor \(\overrightarrow{u}\) durch zwei andere Vektoren \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) dargestellt werden kann (ob er also in der von \(\overrightarrow{v}\) und \(\overrightarrow{w}\) aufgespannten Ebene liegt).

In diesem Fall ist also zu klären, ob es reelle Zahlen \(r\) und \(s\) gibt, sodass
\(\qquad r \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \)

Wir betrachten die Vektoren
\(\qquad \overrightarrow{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \quad \overrightarrow{v} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \)  und  \(\overrightarrow{w} = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)\)

Es geht also um die Frage, ob es Zahlen \(r\) und \(s\) gibt (und, wenn ja, welche), für die gilt

\( \qquad r \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) \)

also für die (nach den Rechenregeln für Vektoren) gilt
\(\qquad \left( \begin{matrix} r + 3s \\ 2r+2s \\ 3r+s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)\)

bzw. (komponentenweise betrachtet) die simultan die folgenden drei Gleichungen erfüllen
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} r & + & 3s & = & 1 \\ 2r & + & 2s & = & 1 \\ 3r & + & s & = & 1 \end{array}  \)