Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme: Definition
Lineare Gleichungen (in einer Unbekannten \(x\)) wurden schon im Kurs "Gleichungen und Ungleichungen" intensiv behandelt. In den Beispielen der letzten Seite tauchen aber immer mehrere lineare Gleichungen und in jeder Gleichung auch noch mehrere Unbekannte auf. Das führt uns zu einem neuen Begriff:
Definition:
Ein lineares Gleichungssystem ist ein System linearer Gleichungen in einer oder mehreren Unbekannten.
In der Regel werden lineare Gleichungssysteme so aufgeschrieben, dass alle Unbekannten links vom Gleichheitszeichen stehen, und rechts davon nur Zahlenwerte.
Für die Unbekannten in einem Gleichungssystem sind verschiedene Bezeichnungen möglich und gebräuchlich. Auf der vorangegangenen Seite haben wir zwei Gleichungssysteme in den Unbekannten \(r\) und \(s\) betrachtet. Bei zwei Unbekannten werden sehr häufig auch die Bezeichnungen \(x\) und \(y\) verwendet und entsprechend bei drei Unbekannten \(x\), \(y\) und \(z\). Bei mehr als drei Unbekannten hat es sich eingebürgert, \(x_1, \ldots, x_n\) zu benutzen, aber auch hier sind andere Notationen und Bezeichnungen möglich.
Definition:
Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems in den Unbekannten \(x_1, \ldots x_n\) sind Zahlen \(r_1, \ldots, r_n\), für die alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt sind, wenn wir für die \(x_i\) jeweils die \(r_i\) einsetzen.
Beispiel:
Das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} r & + & 3 s & = & 1 \\ 2r & + & 2s & = & 1 \\ 3 r & + & s & = & 1 \end{array} \)
hat die Lösung
\(\qquad r = \dfrac {1}{4}, \quad s = \dfrac {1}{4} \)
Keine andere Zahlenkombination löst dieses Gleichungssystem (wie wir noch sehen werden).
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} r & + & 3 s & = & 1 \\ 2r & + & 2s & = & 1 \\ 3 r & + & s & = & 1 \end{array} \)
hat die Lösung
\(\qquad r = \dfrac {1}{4}, \quad s = \dfrac {1}{4} \)
Keine andere Zahlenkombination löst dieses Gleichungssystem (wie wir noch sehen werden).
Beispiel:
Das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} 6r & + & 4s & = & 0 \\ 9r & + & 6s & = & 0 \end{array} \)
hat die Lösung
\(\qquad r = 2, \quad s = -3\)
aber auch
\(\qquad r = 0, \quad s = 0\)
oder
\(\qquad r = -4, \quad s = 6\)
sind Lösungen. Dieses Gleichungssystem hat also mehrere Lösungen (sogar unendlich viele, wie wir noch sehen werden).
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} 6r & + & 4s & = & 0 \\ 9r & + & 6s & = & 0 \end{array} \)
hat die Lösung
\(\qquad r = 2, \quad s = -3\)
aber auch
\(\qquad r = 0, \quad s = 0\)
oder
\(\qquad r = -4, \quad s = 6\)
sind Lösungen. Dieses Gleichungssystem hat also mehrere Lösungen (sogar unendlich viele, wie wir noch sehen werden).
Definition:
Ein lineares Gleichungssystem, bei dem auf der rechten Seite immer die Zahl \(0\) steht, heißt homogen.
\(\enspace\)