Lineare Gleichungssysteme: Definition Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem kann also genau eine oder mehrere Lösungen haben. Es tritt allerdings auch noch ein anderer Fall auf:
Beispiel:
Wir betrachten das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array} \)
Dann gibt es offensichtlich keine Lösung für dieses Gleichungssystem, denn unabhängig davon, welche Zahlen wir für \(x\) und \(y\) einsetzen, es kann niemals gleichzeitig \(x + y = 2\) und \(x+y = 4 \) gelten.
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array} \)
Dann gibt es offensichtlich keine Lösung für dieses Gleichungssystem, denn unabhängig davon, welche Zahlen wir für \(x\) und \(y\) einsetzen, es kann niemals gleichzeitig \(x + y = 2\) und \(x+y = 4 \) gelten.
Definition:
Ein lineares Gleichungssystem in \(x_1, \ldots , x_n\) heißt lösbar, wenn es eine Lösung hat. Andernfalls heißt es nicht lösbar.
Der einfachste Fall ist der eines ''Gleichungssystems'' in \(x_1, \ldots , x_n\) mit nur einer Gleichung, also der Fall
\(\qquad a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \cdots + a_n \cdot x_n = b \)
Selbst in dieser Situation sind schon zwei Hauptfälle zu unterscheiden:
\(\qquad a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \cdots + a_n \cdot x_n = b \)
Selbst in dieser Situation sind schon zwei Hauptfälle zu unterscheiden:
Fall 1:
Es ist \(a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0\). In diesem Fall steht also auf der linken Seite des Gleichungssystems \(0\) (unabhängig davon, wie wir die \(x_i\) wählen). Ist dann auch \(b=0\), so wird die Gleichung zu \(0 = 0\), die trivialerweise (und damit für jede Wahl von \(x_1, \ldots , x_n\)) erfüllt ist. Das Gleichungssystem ist also lösbar. Ist dagegen \(b \neq 0\), so wird die Gleichung zu \(0 = b\), die nicht erfüllbar ist. Damit ist das Gleichungssystem in diesem Fall nicht lösbar.
Fall 2:
Es ist mindestens ein \(a_i \neq 0\) (also mindestens ein \(x_i\) taucht auch wirklich in der Gleichung auf). Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass \(a_1 \neq 0\). Ist in diesem Fall \(n = 1\), so wird die Gleichung zu
\(\qquad a_1 \cdot x_1 = b\)
mit der eindeutigen Lösung \(r_1 = \frac {b}{a_1} \). Ist dagegen \(n > 1\), so wird die Gleichung zu
\(\qquad a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \cdots + a_n \cdot x_n = b \)
Wählen wir dann für \(x_2, \ldots, x_n\) beliebige Zahlen \(r_2, \ldots , r_n\) und setzen wir
\(\qquad r_1 = \dfrac {1}{a_1} \cdot \left( b - a_2 \cdot r_2 - \cdots - a_n r_n \right) \)
so ist \(r_1, \ldots, r_n\) eine Lösung der Gleichung. Im Fall 2 ist das Gleichungssystem also immer lösbar und hat entweder eine Lösung (wenn \(n = 1\)) oder unendlich viele (wenn \(n > 1\)).
\(\qquad a_1 \cdot x_1 = b\)
mit der eindeutigen Lösung \(r_1 = \frac {b}{a_1} \). Ist dagegen \(n > 1\), so wird die Gleichung zu
\(\qquad a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \cdots + a_n \cdot x_n = b \)
Wählen wir dann für \(x_2, \ldots, x_n\) beliebige Zahlen \(r_2, \ldots , r_n\) und setzen wir
\(\qquad r_1 = \dfrac {1}{a_1} \cdot \left( b - a_2 \cdot r_2 - \cdots - a_n r_n \right) \)
so ist \(r_1, \ldots, r_n\) eine Lösung der Gleichung. Im Fall 2 ist das Gleichungssystem also immer lösbar und hat entweder eine Lösung (wenn \(n = 1\)) oder unendlich viele (wenn \(n > 1\)).
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