Wir betrachten die lineare Gleichung

\(\qquad 2x + 3 y = 6 \)

Diese hat unendliche viele Lösungen. Dabei können wir die Variable \(y\) frei wählen, \(y = r\) für ein \(r \in \mathbb R\). Dann ist \(x\) eindeutig bestimmt durch

\(\qquad x = \dfrac {1}{2} \cdot \left( 6 - 3 r \right) = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot r\)

Die Lösungsmenge ist also

\(\qquad \mathbb L = \left\{ \left(3- \dfrac {3}{2} \cdot r, \, r \right) \, \Bigg| \,\, r \in \mathbb R \right\}\)

Genauso hätten wir auch \(x\) frei wählen können, \(x = s\) für ein \(s \in \mathbb R\). Das zugehörige \(y\) wäre in diesem Fall gegeben durch 

\(\qquad y = 2 - \dfrac {2}{3} \cdot s\)

Geometrisch wird die Lösungsmenge durch eine Gerade in der Ebene beschrieben:

Wir betrachten die Gleichung

\(\qquad 3x +  y - 3 z = 3 \)

Diese hat unendlich viele Lösungen. Dabei können wir die Variablen \(y\) und \(z\) frei wählen, \(y = r\), \(z=s\) (mit beliebigen Zahlen \(r\) und \(s\)) und erhalten dann

\( \qquad x = \dfrac {1}{3} \cdot \left( 3 - r + 3s \right) = 1 - \dfrac {1}{3} \cdot r + s\)

Die Lösungsmenge ist also
\( \qquad \mathbb L = \left\{ \left(1- \dfrac {1}{3} \cdot r + s, \, r, \, s \right) \, \Bigg| \,\, r, s \in \mathbb R \right\}\)

Geometrisch wird sie durch eine Ebene im Raum beschrieben: