Lösung:
Das Gleichungssystem ist nur für \(a=3\) lösbar.
Erläuterung:
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Für \(a = 3\) erhalten wir das Gleichungssystem |
| \(\begin{array} {c r c r c l} \qquad & 2x & + & 4 y & = & 6 \\ & x & + & 2y & = & 3 \end{array}\) |
| Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung löst, löst auch die zweite Gleichung dieses Systems. Das ist z.B. der Fall für \(x = 1\) und \(y=1\), aber auch für \(x = 3\) und \( y=0\). Das Gleichungssystem hat also in diesem Fall Lösungen (und zwar unendlich viele). |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Damit ist auch schon gezeigt, dass die Antwort |
| "Es gibt kein \(a\), für das das Gleichungssystem lösbar ist." |
| nicht richtig sein kann. |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Für \(a = 0\) erhalten wir das Gleichungssystem |
| \(\begin{array} {c r c r c l} \qquad & 2x & + & 4 y & = & 6 \\ & x & + & 2y & = & 0 \end{array}\) |
| Jede Zahlenkombination \(x=r\) und \(y=s\), die die erste Gleichung löst, für die also |
| \(\qquad 2r + 4 s = 6 \) |
| gilt, erfüllt aber dann |
| \( \qquad r + 2s = \frac {1}{2} \cdot (2r + 4s) = 3 \) |
| Damit erfüllt diese Zahlenkombination die zweite Gleichung nicht. Es gibt also kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | Dadurch ist aber auch schon gezeigt, dass die Antwort |
| "Das Gleichungssystem hat für jede Wahl von \(a\) eine Lösung." |
| nicht richtig sein kann. |