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Für \(a = 3\) erhalten wir das Gleichungssystem

\(\begin{array} {c r c r c l} \qquad & 2x & + & 4 y & = & 6 \\ & x & + & 2y & = & 3 \end{array}\)

Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung löst, löst auch die zweite Gleichung dieses Systems. Das ist z.B. der Fall für \(x = 1\) und \(y=1\), aber auch für \(x = 3\) und \( y=0\). Das Gleichungssystem hat also in diesem Fall Lösungen (und zwar unendlich viele).

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Damit ist auch schon gezeigt, dass die Antwort

"Es gibt kein \(a\), für das das Gleichungssystem lösbar ist."

nicht richtig sein kann.

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Für \(a = 0\) erhalten wir das Gleichungssystem

\(\begin{array} {c r c r c l} \qquad & 2x & + & 4 y & = & 6 \\ & x & + & 2y & = & 0 \end{array}\)

Jede Zahlenkombination \(x=r\) und \(y=s\), die die erste Gleichung löst, für die also

\(\qquad 2r + 4 s = 6 \)

gilt, erfüllt aber dann

\( \qquad r + 2s = \frac {1}{2} \cdot (2r + 4s) = 3 \)

Damit erfüllt diese Zahlenkombination die zweite Gleichung nicht. Es gibt also kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung.

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Dadurch ist aber auch schon gezeigt, dass die Antwort

"Das Gleichungssystem hat für jede Wahl von \(a\) eine Lösung."

nicht richtig sein kann.