Wir betrachten nun ein Gleichungssystem mit mehreren Gleichungen, etwa das System

\(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 2x & + & 3 y & = & 6 \end{array} \)

Zunächst betrachten wir die beiden Gleichungen getrennt, also erst

\(\qquad x + 2y = 5 \)

Hierfür haben wir im vorangegangenen Abschnitt schon gesehen, dass die Lösungsmenge durch

\(\qquad \mathbb L_1 = \left\{ (5 - 2r, \, r) \, \vert \, \, r \in \mathbb R \right\} \)

gegeben ist. Entsprechend erhalten wir für die zweite Gleichung

\(\qquad 2x + 3 y = 6\)

die Lösungsmenge

\(\qquad \mathbb L_2 =  \left\{ \left(3 - \dfrac {3}{2} \cdot r, \, r\right) \, \Bigg| \, \, r \in \mathbb R \right\} \)

Die Lösungen des gesamten Gleichungssystems sind damit offensichtlich die Zahlenpaare, die sowohl in \(\mathbb L_1\) als auch in \(\mathbb L_2\) enthalten sind, also

\(\qquad \mathbb L = \mathbb L_1 \cap \mathbb L_2 \)

Für ein vorgegebenes \(r\) ist \(\left( 5 - 2r, \, r \right)\) ein Element von \(\mathbb L_1\) und \(\left( 3 - \dfrac {3}{2} \cdot r, \, r \right)\) ein Element von \(\mathbb L_2\). Damit wir dadurch ein Zahlenpaar aus dem Durchschnitt von \(\mathbb L_1\) und \(\mathbb L_2\) erhalten, muss offensichtlich 

\(\qquad 5 - 2r = 3 -  \dfrac {3}{2} \cdot r \)

gelten. Damit erhalten wir eine lineare Gleichung in der Unbekannten \(r\), wie wir sie schon im Kurs "Gleichungen und Ungleichungen" behandelt haben. Durch Addition von \(\dfrac {3}{2} \cdot r\) auf beiden Seiten erhalten wir

\(\qquad 5 - \dfrac {1}{2} \cdot r = 3 \).

Subtrahieren wir von beiden Seiten die Zahl \(5\), so ergibt sich die Gleichung

\(\qquad - \dfrac {1}{2} \cdot r = - 2\)

und damit nach Multiplikation mit \(-2\)

\(\qquad r = 4 \).

Hierfür gilt in der Tat

\(\qquad 5 - 2 \cdot 4 = - 3 = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot 4 \)

und damit ist \((-3, \, 4)\) das einzige Element aus dem Durchschnitt von \(\mathbb L_1\) und \(\mathbb L_2\), d.h. \(x=-3\) und \(y=4\) ist die einzige Lösung unseres Gleichungssystems,

\(\qquad \mathbb L = \left\{ (-3, 4) \right\} \)