Gleichsetzungsverfahren: Beispiel Gleichsetzungsverfahren
Das vorangegangene Beispiel liefert ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen. Wir haben dabei nämlich in beiden Gleichungen des Systems \(x\) durch die zweite Unbekannte ausgedrückt und dann die beiden Ausdrücke verglichen. Das lässt sich verallgemeinern. Dazu betrachten wir noch einmal das Gleichungssystem
\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 2x & + & 3 y & = & 6 \end{array} \)
Aus der ersten Gleichung erhalten wir, dass
\(\qquad x = 5 - 2y \)
gelten muss, und die zweite Gleichung liefert für \(x\) die Bedingung
\(\qquad x = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot y \)
Um eine Lösung des gesamten Gleichungssystems zu erhalten, müssen beide Beziehungen erfüllt sein, d.h. es muss gelten
\(\qquad 5 - 2y = x = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot y \)
Daraus erhalten wir die lineare Gleichung
\(\qquad 5 - 2y = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot y \)
die (wie wir schon auf der vorangegangenen Seite gesehen haben) die eindeutige Lösung
\(\qquad y = 4\)
besitzt. Einsetzen in die Bedingung \(x = 5-2y\) liefert dann
\(\qquad x = 5 - 2 \cdot 4 = - 3 \)
(genauso wie natürlich Einsetzen in die Bedingung \(x = 3 - \frac {3}{2} \cdot y \) den gleichen Wert
\(\qquad x = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot 4 = - 3 \)
ergibt).
\(\qquad x = 5 - 2y \)
gelten muss, und die zweite Gleichung liefert für \(x\) die Bedingung
\(\qquad x = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot y \)
Um eine Lösung des gesamten Gleichungssystems zu erhalten, müssen beide Beziehungen erfüllt sein, d.h. es muss gelten
\(\qquad 5 - 2y = x = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot y \)
Daraus erhalten wir die lineare Gleichung
\(\qquad 5 - 2y = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot y \)
die (wie wir schon auf der vorangegangenen Seite gesehen haben) die eindeutige Lösung
\(\qquad y = 4\)
besitzt. Einsetzen in die Bedingung \(x = 5-2y\) liefert dann
\(\qquad x = 5 - 2 \cdot 4 = - 3 \)
(genauso wie natürlich Einsetzen in die Bedingung \(x = 3 - \frac {3}{2} \cdot y \) den gleichen Wert
\(\qquad x = 3 - \dfrac {3}{2} \cdot 4 = - 3 \)
ergibt).
Für die Formulierung des allgemeinen Lösungsansatzes betrachten wir nun ein allgemeines Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c c c r c l} a_{1,1} \cdot x_1 & + & a_{1,2} \cdot x_2 & + & \cdots & + & a_{1,n} \cdot x_n & = & b_1 \\ a_{2,1} \cdot x_1 & + & a_{2,2} \cdot x_2 & + & \cdots & + & a_{2,n} \cdot x_n & = & b_2 \end{array} \)
mit zwei Gleichungen in \(n\) Unbekannten \(x_1, \ldots, x_n\) und (reellen) Vorfaktoren \(a_{i,j}\) von \(x_j\) in der \(i\)-ten Gleichung. Es müssen nicht alle Unbekannten in beiden Gleichungen vorkommen (d.h. es kann auch \(a_{i,j} = 0\) gelten), wir können aber annehmen, dass es eine Unbekannte gibt, die in beiden Gleichungen vorkommt. Andernfalls haben wir nämlich zwei unabhängige Gleichungen, die auch unabhängig voneinander gelöst werden können. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass schon \(x_1\) in beiden Gleichungen auftaucht, dass also \(a_{1,1}\) und \(a_{2,1}\) nicht \(0\) sind.
\(\qquad \begin{array} {r c r c c c r c l} a_{1,1} \cdot x_1 & + & a_{1,2} \cdot x_2 & + & \cdots & + & a_{1,n} \cdot x_n & = & b_1 \\ a_{2,1} \cdot x_1 & + & a_{2,2} \cdot x_2 & + & \cdots & + & a_{2,n} \cdot x_n & = & b_2 \end{array} \)
mit zwei Gleichungen in \(n\) Unbekannten \(x_1, \ldots, x_n\) und (reellen) Vorfaktoren \(a_{i,j}\) von \(x_j\) in der \(i\)-ten Gleichung. Es müssen nicht alle Unbekannten in beiden Gleichungen vorkommen (d.h. es kann auch \(a_{i,j} = 0\) gelten), wir können aber annehmen, dass es eine Unbekannte gibt, die in beiden Gleichungen vorkommt. Andernfalls haben wir nämlich zwei unabhängige Gleichungen, die auch unabhängig voneinander gelöst werden können. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass schon \(x_1\) in beiden Gleichungen auftaucht, dass also \(a_{1,1}\) und \(a_{2,1}\) nicht \(0\) sind.
Algorithmus (Gleichsetzungsverfahren):
1. Löse die erste und die zweite Gleichung nach \(x_1\) auf:
\(\qquad\begin{array} {r c r c} x_1 = \dfrac {1}{a_{1,1}} \cdot \left( b_1 - a_{1,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{1,n} \cdot x_n \right) & (1) \\ x_1 = \dfrac {1}{a_{2,1}} \cdot \left( b_2 - a_{2,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{2,n} \cdot x_n \right) & (2) \end{array} \)
2. Setze die beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) gleich
\(\qquad \dfrac {1}{a_{1,1}} \cdot \left( b_1 - a_{1,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{1,n} \cdot x_n \right) = \dfrac {1}{a_{2,1}} \cdot \left( b_2 - a_{2,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{2,n} \cdot x_n \right) \)
und erhalte eine (lineare) Gleichung in \(n-1\) Unbekannten.
3. Bestimme alle Lösungen \(x_2 = r_2, \ldots, x_n = r_n\) dieser Gleichung,
4. Setze diese Lösungen \(x_2 = r_2, \ldots, x_n = r_n\) in \((1)\) (oder \((2)\) ) ein und bestimme dadurch \(x_1\):
\(\qquad x_1 = \dfrac {1}{a_{1,1}} \cdot \left( b_1 - a_{1,2} \cdot r_2 - \cdots - a_{1,n} \cdot r_n \right) \)
bzw.
\(\qquad x_1 = \dfrac {1}{a_{2,1}} \cdot \left( b_2 - a_{2,2} \cdot r_2 - \cdots - a_{2,n} \cdot r_n \right) \)
(beide Rechenvorschriften führen zum selben Ergebnis).
\(\qquad\begin{array} {r c r c} x_1 = \dfrac {1}{a_{1,1}} \cdot \left( b_1 - a_{1,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{1,n} \cdot x_n \right) & (1) \\ x_1 = \dfrac {1}{a_{2,1}} \cdot \left( b_2 - a_{2,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{2,n} \cdot x_n \right) & (2) \end{array} \)
2. Setze die beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\) gleich
\(\qquad \dfrac {1}{a_{1,1}} \cdot \left( b_1 - a_{1,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{1,n} \cdot x_n \right) = \dfrac {1}{a_{2,1}} \cdot \left( b_2 - a_{2,2} \cdot x_2 - \cdots - a_{2,n} \cdot x_n \right) \)
und erhalte eine (lineare) Gleichung in \(n-1\) Unbekannten.
3. Bestimme alle Lösungen \(x_2 = r_2, \ldots, x_n = r_n\) dieser Gleichung,
4. Setze diese Lösungen \(x_2 = r_2, \ldots, x_n = r_n\) in \((1)\) (oder \((2)\) ) ein und bestimme dadurch \(x_1\):
\(\qquad x_1 = \dfrac {1}{a_{1,1}} \cdot \left( b_1 - a_{1,2} \cdot r_2 - \cdots - a_{1,n} \cdot r_n \right) \)
bzw.
\(\qquad x_1 = \dfrac {1}{a_{2,1}} \cdot \left( b_2 - a_{2,2} \cdot r_2 - \cdots - a_{2,n} \cdot r_n \right) \)
(beide Rechenvorschriften führen zum selben Ergebnis).
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