Wir wollen das Gleichsetzungsverfahren zunächst auf das Gleichungssystem

\(\qquad\begin{array} {r c r c l} 3x & + & 5y & = & 4 \\ 4x & + & 3y & = & 5 \end{array} \)

anwenden:

In beiden Gleichungen kommt die Unbekannte \(x\) vor. Wir lösen daher beide nach \(x\) auf und erhalten:

\(\qquad\begin{array} {r c r c c} x & = & \dfrac {1}{3} \cdot \left( 4 - 5 y\right) &\qquad & (1) \\ x & = & \dfrac {1}{4} \cdot \left( 5 - 3 y \right) & & (2) \end{array} \)

Wir setzen die beiden Ausdrücke für \(x\) (aus dem ersten Schritt) gleich und erhalten

\(\qquad \dfrac {1}{3} \cdot \left( 4 - 5 y\right) = \dfrac {1}{4} \cdot \left( 5 - 3 y\right) \qquad \qquad (3) \)

also (nach Multiplikation beider Seiten mit \(12\))

\(\qquad 16  - 20 y = 15 - 9 y\)

bzw. (nach Subtraktion von \(15-20y\) von beiden Seiten)

\(\qquad 1 = 11 y \)

Aus obiger Gleichung erhalten wir sofort die eindeutige Lösung

\(\qquad y= \dfrac {1}{11} \)

Einsetzen in Beziehung \((1)\) liefert

\(\qquad x = \dfrac {1}{3} \cdot \left( 4 -  5 \cdot \dfrac {1}{11} \right) = \dfrac {13}{11} \)

(was wir natürlich auch aus \((2)\) erhalten: \(x = \dfrac {1}{4} \cdot \left(5 - 3 \cdot \dfrac {1}{11} \right) = \dfrac {13}{11}\) ). Das Gleichungssystem hat damit die eindeutige Lösung 

\(\qquad x = \dfrac {13}{11}, \quad y = \dfrac {1}{11} \)

Als nächstes wollen wir das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} 2x & + & y & + & 3z & = & 6 \\ & & 2y & + & 4z & = & 8 \end{array} \)

betrachten. In diesem Fall tritt \(x\) nur in der ersten Gleichung auf, ist für dieses Verfahren also nicht geeignet. Stattdessen wählen wir die Unbekannte \(y\), die in beiden Gleichungen vorkommt. Auflösen nach \(y\) liefert:

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c c} y &=& 6 - 2x -3z & & \quad & &   (1) \\ y &=& \dfrac {1}{2} \cdot \left(8 - 4z \right) & = & 4 - 2z& & (2) \end{array} \)

Gleichsetzen von \((1)\) und \((2)\) führt zu

\(\qquad 6 - 2x - 3z = 4 - 2z \)

also zu

\(\qquad 2x + z = 2 \)

Damit erhalten wir eine Gleichung (in den beiden Unbekannten \(x\) und \(z\)) mit der allgemeinen Lösung

\(\qquad z = r, \quad x =  1 - \dfrac {1}{2} \cdot r \)

(für beliebige \(r \in \mathbb R\) ). Einsetzen in \((1)\)  ergibt damit

\(\qquad y = 6 - 2 \cdot \left( 1- \dfrac {1}{2} \cdot r \right) - 3 \cdot r = 4 - 2 \cdot r \)

und wir erhalten die allgemeine Lösung

\(\qquad  x =  1 - \dfrac {1}{2} \cdot r, \quad y = 4 - 2 \cdot r, \quad z = r  \)

bzw. die Lösungsmenge

\(\qquad \mathbb L = \left\{ \left( 1 - \dfrac {1}{2} \cdot r, \, 4 - 2 \cdot r, \, r\right) \, \Bigg| \, \, r \in \mathbb R \right \} \)

Die gleiche Lösungsmenge hätten wir natürlich auch bekommen, wenn wir die beiden Gleichungen nach \(z\) aufgelöst hätten.