Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert sehr gut bei zwei Gleichungen, ist aber weniger gut geeignet für mehr Gleichungen. Dann kann sogar der Fall auftreten, dass es überhaupt keine Unbekannte gibt, die in allen Gleichungen auftritt, und nach der sich alle Gleichungen auflösen lassen. Es gibt allerdings noch weitere Verfahren, die auch für solche Situationen geeignet sind. Betrachten wir dazu wieder das Beispiel

\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 2x & + & 3 y & = & 6 \end{array} \)

Wie beim Gleichsetzungsverfahren erhalten wir aus der ersten Gleichung
     \( x = 5 - 2y \)
Diese Beziehung muss auf jeden Fall erfüllt sein, und daher können wir in der zweiten Gleichung \(x\) durch diesen Ausdruck ersetzen. Dadurch wird das Gleichungssystem zu

\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 2 \cdot (5-2y) & + & 3 y & = & 6 \end{array} \)

also zu
\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 10 & - &  y & = & 6 \end{array} \)

bzw. zu
\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & \,\,\, 5 \\  &  - &  y & = & -4 \end{array} \)

Multiplizieren wir jetzt noch die zweite Gleichung mit \(-1\), so erhalten wir
\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ &  & y & = & 4 \end{array} \)

Dieses lineare Gleichungssystem ist einfacher als das Ausgangssystem, ist aber so konstruiert worden, dass es genau die gleichen Lösungen hat wie das Ausgangssystem.

Aus der zweiten Gleichung des neuen Gleichungssystems lesen wir direkt ab, dass \(y=4\) sein muss. Setzen wir das in die Erste ein, so wird diese zu
\(\qquad x + 2 \cdot 4 = 5 \)
woraus wiederum sofort \(x = -3\) folgt. Damit haben wir wieder die eindeutige Lösung \(x=-3\) und \(y=4\) erhalten.

Dieses Verfahren lässt sich leicht auf mehr als zwei Gleichungen verallgemeinern. Betrachten wir dazu das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 4 \\ x & + & 2y & + & 3z & = &   8 \\ 2x & - & y & + & 3 z & = & 3  \end{array} \)

Aus der ersten Gleichung erhalten wir
\(\qquad x = 4 - y - z \)
Setzen wir das in die zweite und dritte Gleichung ein, so erhalten wir das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 4 \\ 4 - y - z & + & 2y & + & 3z & = &   8 \\ 2 \cdot (4 - y - z) & - & y & + & 3 z & = & 3  \end{array} \)

bzw. nach Zusammenfassen
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\,4 \\  & & y & + & 2z & = & \,\,\,4 \\ & - & 3 y & + &  z & = & -5  \end{array} \)

Nun erhalten wir aus der zweiten Gleichung
\(\qquad y = 4 - 2 z \).
Setzen wir das in die dritte Gleichung ein, so wird das Gleichungssystem zu

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\, 4 \\  & & y & + & 2z & = & \,\,\, 4 \\ & - & 3 \cdot (4 - 2z) & + &  z & = & -5  \end{array} \)
also nach Zusammenfassen zu

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 4 \\  & & y & + & 2z & = & 4 \\ &  &  &  &  7z & = & 7  \end{array} \)

Teilen wir jetzt noch die dritte Gleichung durch \(7\), so erhalten wir das Gleichungssystem
\( \qquad  \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 4 \\  & & y & + & 2z & = & 4 \\ &  &  &  &  z & = & 1  \end{array} \)

Dieses Gleichungssystem ist wiederum so konstruiert worden, dass es die gleichen Lösungen hat wie das Ausgangsgleichungssystem. Auch ist ist das neue Gleichungssystem aber viel einfacher zu lösen aus das Ausgangssystem.

Aus der letzten Gleichung lesen wir nämlich sofort ab, dass \(z=1\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, so wird diese zu
\(\qquad y + 2 \cdot 1 = 4 \)
woraus sofort \(y = 2\) folgt. Diese beiden Werte können schließlich in die erste Gleichung eingesetzt werden und machen diese zu
\(\qquad x + 2 + 1 = 4\)
woraus wir schließlich \(x = 1\) erhalten. Damit hat das Gleichungssystem die eindeutige Lösung
\(\qquad x = 1, \quad y = 2, \quad z = 1 \)
Überzeugen Sie sich, dass diese Zahlen tatsächlich auch das Ausgangsgleichungssystem lösen!