Dieses Verfahren funktioniert ganz allgemein und nach dem folgenden Prinzip:

Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem mit \(m\) Gleichungen und in \(n\) Unbekannten.

1. Wähle eine Unbekannte (die wir hier \(x\) nennen), die in der ersten Gleichung vorkommt.
2. Löse die erste Gleichung nach \(x\) auf.
3. Ersetze \(x\) in allen Gleichungen \(2\) bis \(m\) (in denen \(x\) vorkommt) durch diesen Ausdruck.

Dadurch erhalten wir ein Gleichungssystem in \( n\) Unbekannten und mit \(m\) Gleichungen, in dem aber in den Gleichungen \(2\) bis \(m\) die Unbekannte \(x\) nicht mehr auftritt.

Wiederhole dieses Verfahren mit den Gleichungen \(2\) bis \(m\), d.h.:

1. Wähle eine Unbekannte (die wir hier \(y\) nennen), die in der zweiten Gleichung vorkommt.
2. Löse die zweite Gleichung nach \(y\) auf.
3. Ersetze \(y\) in allen Gleichungen \(3\) bis \(m\) (in denen \(y\) vorkommt) durch diesen Ausdruck.

Dadurch erhalten wir ein Gleichungssystem in \( n\) Unbekannten und mit \(m\) Gleichungen, in dem aber in den Gleichungen \(2\) bis \(m\) die Unbekannte \(x\) nicht mehr auftritt und in dem in den Gleichungen \(3\) bis \(m\) die Unbekannten \(x\) und \(y\) nicht mehr vorkommen.

Für die Fälle, die wir in diesem Abschnitt betrachten (also maximal \(3\) Gleichungen in maximal \(3\) Unbekannten), ist der Eliminationsprozess nach diesem Schritt beendet.
Im allgemeinen Fall wird dieses Verfahren wiederholt, bis wir die vorletzte Gleichung nach einer Unbekannten \(z\) auflösen und diese in der letzten Gleichung ersetzen.

Wir behandeln die letzte Gleichung des Gleichungssystems wie eine einzelne Gleichung (in einer oder mehreren Unbekannten) und bestimmen deren Lösung oder deren Lösungen. Diese Lösungen setzen wir in die vorletzte Gleichung ein und bestimmen damit die Unbekannte \(z\). Sukzessive wird nun rückwärts gerechnet, bis alle Unbekannten, die im Eliminationsschritt eliminiert wurden, bestimmt sind.