Algorithmus zum Eliminationsverfahren Additionsverfahren
Die Elimination einer Unbekannten kann auch durch eine Additionstechnik verwirklicht werden. Dazu betrachten wir wieder das Gleichungssystem
\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 2x & + & 3 y & = & 6 \end{array} \)
Statt die erste Gleichung nach \(x\) aufzulösen und das in die zweite einzusetzen, subtrahieren wir das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung (und zwar jeweils die linke Seite von der linken Seite und die rechte Seite von der rechten Seite) und erhalten
\(\qquad\begin{array} {r c r c r c r c l} x & + & 2 y && & & & = & 5 \\ 2x & + & 3 y & - & 2 \cdot (\, x & + &2y \, )& = & 6 - 2 \cdot 5 \end{array} \)
also
\(\qquad\begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & \,\,\, 5 \\ & & - y & = & -4 \end{array} \)
und damit das gleiche Ergebnis, das wir auch beim Eliminationsverfahren erhalten haben. Nach dieser Operation hat das Gleichungssystem wieder die gleichen Lösungen wie vorher. Nach Multiplikation der zweiten Zeile mit \(-1\) erhalten wir wieder
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ & & y & = & 4 \end{array} \)
also wieder die Lösung \(y = 4\) (aus der zweiten Gleichung), \(x = -3 \) (durch Einsetzen von \(y = 4\) in die erste Gleichung).
Dieses Verfahren funktioniert ganz allgemein. Dabei handelt es sich lediglich um eine andere Formulierung des Eliminationsverfahrens. Es soll hier an einem Beispiel von drei Gleichungen in den drei Unbekannten \(x\), \(y\) und \(z\) beschrieben werden:
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} 2 x & + & 2y & + & 4 z & = & 4 \\ 3 x & + & 5 y & + & 2 z & = & 0 \\ 2 x & + & 3y & + & 7z & = & 6 \end{array} \)
Zunächst dividieren wir die erste Gleichung durch \(2\) (um das \(x\) zu isolieren) und erhalten
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & 2 \\ 3 x & + & 5 y & + & 2 z & = & 0 \\ 2 x & + & 3y & + & 7 z & = & 6 \end{array} \)
Nun subtrahieren wir das Dreifache der ersten Gleichung von der zweiten und das Doppelte der ersten Gleichung von der dritten. Fassen wir dabei gleich nach \(x\), \(y\) und \(z\) zusammen, so erhalten wir
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & \,\,\, 2 \\ & & 2 y & - & 4 z & = & -6 \\ & & y & + & 3 z & = & \,\,\, 2 \end{array} \)
Wir dividieren die zweite Gleichung durch \(2\) (um \(y\) zu isolieren) und erhalten
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & 2 \\ & & y & - & 2 z & = & -3 \\ & & y & + & 3 z & = & 2 \end{array} \)
Subtraktion der zweiten Gleichung von der dritten liefert schließlich
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & \,\,\,\, 2 \\ & & y & - & 2 z & = & \,\, -3 \\ & & (1-1) \cdot y & + & (3+2) \cdot z & = & 2 + 3 \end{array} \)
also
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & \,\,\, 2 \\ & & y & - & 2 z & = & -3 \\ & & & & 5 z & = & \,\,\, 5 \end{array} \)
Division der letzten Gleichung durch \(5\) führt zu
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & \,\,\, 2 \\ & & y & - & 2 z & = & -3 \\ & & & & z & = & \,\,\, 1 \end{array} \)
Die letzte Gleichung liefert sofort, dass \(z = 1\) gelten muss. Setzen wir das in die vorletzte ein, so wird diese zu
\(\qquad y - 2 \cdot 1 = -3 \)
woraus \(y = -1\) folgt. Einsetzen der Werte \(z = 1\) und \(y = -1\) in die erste Gleichung macht diese schließlich zu
\(\qquad x + (- 1) + 2 \cdot 1 = 2 \)
woraus wir \(x = 1\) erhalten. Damit hat das Gleichungssystem die eindeutige Lösung
\(\qquad x = 1, \quad y = -1 , \quad z = 1 \)
Beachten Sie, dass das Additionsverfahren immer dieselbe Abfolge von Gleichungssystemen erzeugt wie das Eliminationsverfahren. Der Rückwärtsrechenschritt ist auch in beiden Verfahren identisch.
Merke:
Tritt in einer Gleichung eine Unbekannte \(x\) isoliert auf (also ohne Vorfaktor) und tritt die gleiche Unbekannte in einer der nachfolgenden Gleichungen mit dem Vorfaktor \(a\) auf, so verschwindet die Unbekannte \(x\) aus der nachfolgenden Gleichung, wenn wir das \(a\)-fache der Ausgangsgleichung von dieser nachfolgenden Gleichung abziehen.
\(\enspace\)