Additionsverfahren Eliminations- und Additionsverfahren: Beispiele
Beim Eliminations- bzw. Additionsverfahren sind einige Sonderfälle zu beachten, die wir anhand von Beispielen darstellen wollen:
Beispiel 1:
Wir betrachten das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\, 6 \\ x & + & 2y & + & 3 z & = & 10 \\ 2x & + & 3 y & + & 4 z & = & 16 \end{array} \)
Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten und des Doppelten der ersten Gleichung von der dritten ergibt
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 6 \\ & & y & + & 2 z & = & 4 \\ & & y & + & 2 z & = & 4 \end{array} \)
Subtraktion der zweiten Gleichung von der dritten schließlich liefert
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 6 \\ & & y & + & 2 z & = & 4 \\ & & & & 0 & = & 0 \end{array} \)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 6 \\ & & y & + & 2 z & = & 4 \\ & & & & 0 & = & 0 \end{array} \)
Damit liefert die neue dritte Gleichung keine Bedingung mehr, sie ist für jede Wahl von \(x\), \(y\) und \(z\) erfüllt. Die letzte relevante Gleichung ist hier also die zweite Gleichung,
\(\qquad y + 2z = 4 \)
Hier können wir \(z = r\) beliebig wählen und erhalten daraus \(y = 4 - 2r\). Setzen wir das in die erste Gleichung ein, so wird diese zu
\(\qquad x + 4 - 2r + r = 6 \)
woraus sofort \(x = 2+r\) folgt. Die allgemeine Lösung ist also
\(\qquad x = 2 + r, \quad y = 4 - 2r, \quad z = r \qquad (r \in \mathbb R\) beliebig\() \)
und die Lösungsmenge ist damit
\(\qquad \mathbb L = \left\{ \left( 2+r, \, 4-2r, \, r \right) \, \vert \, \, r \in \mathbb R \right\} \)
\(\qquad y + 2z = 4 \)
Hier können wir \(z = r\) beliebig wählen und erhalten daraus \(y = 4 - 2r\). Setzen wir das in die erste Gleichung ein, so wird diese zu
\(\qquad x + 4 - 2r + r = 6 \)
woraus sofort \(x = 2+r\) folgt. Die allgemeine Lösung ist also
\(\qquad x = 2 + r, \quad y = 4 - 2r, \quad z = r \qquad (r \in \mathbb R\) beliebig\() \)
und die Lösungsmenge ist damit
\(\qquad \mathbb L = \left\{ \left( 2+r, \, 4-2r, \, r \right) \, \vert \, \, r \in \mathbb R \right\} \)
Beispiel 2:
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ 2x & + & 3y & + & 4 z & = & 3 \\ 3x & + & 4 y & + & 5 z & = & 6 \end{array} \)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ 2x & + & 3y & + & 4 z & = & 3 \\ 3x & + & 4 y & + & 5 z & = & 6 \end{array} \)
Subtrahieren wir die erste Gleichung zweimal von der Zweiten und dreimal von der Dritten, so erhalten wir
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ & - & y & - & 2z & = & 1 \\ & - & 2 y & - & 4 z & = & 3 \end{array} \)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ & - & y & - & 2z & = & 1 \\ & - & 2 y & - & 4 z & = & 3 \end{array} \)
Multiplizieren wir die zweite Gleichung mit \(-1\), so wird das Gleichungssystem zu
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ & & y & + & 2z & = & -1 \\ & - & 2 y & - & 4 z & = & 3 \end{array} \)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ & & y & + & 2z & = & -1 \\ & - & 2 y & - & 4 z & = & 3 \end{array} \)
Addieren wir zweimal die zweite Gleichung zur dritten, so ergibt das
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ & & y & + & 2z &=& -1 \\ & & & & 0 & = & 1 \end{array} \)
Ganz offensichtlich ist die dritte Gleichung nicht erfüllbar, unabhängig davon, wie wir \(x\), \(y\) und \(z\) wählen. Damit hat das ganze Gleichungssystem keine Lösung.
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ & & y & + & 2z &=& -1 \\ & & & & 0 & = & 1 \end{array} \)
Ganz offensichtlich ist die dritte Gleichung nicht erfüllbar, unabhängig davon, wie wir \(x\), \(y\) und \(z\) wählen. Damit hat das ganze Gleichungssystem keine Lösung.
Merke:
Ist ein lineares Gleichungssystem nicht lösbar, so führt das Eliminations- bzw. das Additionsverfahren dazu, dass in dem Gleichungssystem eine Gleichung der Form
\(\qquad 0 = b \)
mit einem \(b \neq 0\) auftaucht. An dem Auftreten einer solchen Zeile im Laufe des Eliminations- oder Additionsverfahrens kann man umgekehrt auch erkennen, dass ein Gleichungssystem nicht lösbar ist.
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