Aufgabe 2 Aufgabe 3
Wir betrachten das folgende Gleichungssystem \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} 2 x & + & 3y & + & 4z & = & 2 \\ 3 x & + & 2 y & - & z & = & 1 \\ -5 x & - & 3 y & + & 7z & = & 3 \end{array} \) Untersuchen Sie, ob das Gleichungssystem lösbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls alle Lösungen. Erklärung Lösung: Das Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung \(x=2\), \(y = -2\) und \(z = 1\), \(\qquad \mathbb L = \{ (2, \, -2, \, 1) \} \) Erläuterung: Wir benutzen das Additionsverfahren, um das Gleichungssystem zu untersuchen. Zunächst dividieren wir die erste Gleichung durch \(2\) (um \(x\) zu isolieren) und erhalten \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2 z & = & 1 \\ 3 x & + & 2 y & - & z & = & 1 \\ -5 x & - & 3 y & + & 7z & = & 3 \end{array} \) Als Nächstes subtrahieren wir die erste Gleichung dreimal von der zweiten und addieren sie fünfmal zur dritten und erhalten \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2z & = & \,\,\, 1 \\ (3-3 \cdot 1) \cdot x & + & \left(2 - 3 \cdot \dfrac {3}{2} \right) \cdot y & + & (-1 - 3 \cdot 2) \cdot z & = & 1 - 3 \cdot 1 \\ (-5 + 5 \cdot 1) \cdot x & + & \left(-3 + 5 \cdot \dfrac {3}{2} \right) \cdot y & + & (7 + 5 \cdot 2) \cdot z & = & 3 + 5 \cdot 1 \end{array} \) also \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2z & = & \,\,1 \\ & - & \dfrac {5}{2} \cdot y & - & 7 z & = & -2 \\ & & \dfrac {9}{2} \cdot y & + & 17z & = & \,\, 8 \end{array} \) Dividieren wir die zweite Gleichung durch \(- \frac {5}{2}\), so erhalten wir \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2 \cdot z & = & \,\,1 \\ & & y & + & \dfrac {14}{5} \cdot z & = & \dfrac {4}{5} \\ & & \dfrac {9}{2} \cdot y & + & 17 \cdot z & = & \,\, 8 \end{array} \) Subtrahieren wir die zweite Gleichung \(\frac {9}{2}\) mal von der dritten, so führt das zu \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2 \cdot z & = & \,\,\,\, 1 \\ & & y & + & \dfrac {14}{5} \cdot z & = & \,\,\, \dfrac {4}{5} \\ & & \left(\dfrac {9}{2} - \dfrac {9}{2} \cdot 1 \right) \cdot y & + & \left( 17 - \dfrac {9}{2} \cdot \dfrac {14}{5} \right) \cdot z & = & 8 - \dfrac {9}{2} \cdot \dfrac {4}{5} \end{array} \) also zu \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2 \cdot z & = & \,\, 1 \\ & & y & + & \dfrac {14}{5} \cdot z & = & \, \dfrac {4}{5} \\ & & & & \dfrac {22}{5} \cdot z & = & \dfrac {22}{5} \end{array} \) Dividieren wir noch die dritte Gleichung durch \(\frac {22}{5}\), so erhalten wir \(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & \dfrac {3}{2} \cdot y & + & 2 \cdot z & = & \,\, 1 \\ & & y & + & \dfrac {14}{5} \cdot z & = & \, \dfrac {4}{5} \\ & & & & z & = & \,\, 1 \end{array} \) Aus der dritten Gleichung sehen wir jetzt sofort, dass \(z = 1\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, so wird diese zu \(\qquad y + \dfrac {14}{5} \cdot 1 = \dfrac {4}{5} \) woraus wir \(\qquad y = \dfrac {4}{5} - \dfrac {14}{5} = -2 \) erhalten. Setzen wir nun \(z = 1\) und \(y=-2\) in die erste Gleichung ein, so wird diese zu \(\qquad x + \dfrac {3}{2} \cdot (-2) + 2 = 1 \) woraus \(\qquad x = 1 + 3 - 2 = 2 \) folgt. Damit erhalten wir die eindeutige Lösung \(\qquad x = 2, \quad y = -2, \quad z = 1 \) |  |
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