Das Gleichungssystem hat für jede Wahl von \(a\) eine eindeutige Lösung, und zwar

\(\qquad x = -8 + a, \quad y = 20 - 2a, \quad z = a-8  \)

Wir benutzen das Additionsverfahren, um das Gleichungssystem zu untersuchen. Zunächst subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten und von der dritten und erhalten

\( \qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\, 4 \\  & & (2-1) \cdot y & + & (3-1) \cdot z & = & 8 -4 \\ & & (2-1) \cdot y & + & (4-1) \cdot z & = & a - 4 \end{array} \)

also

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\, 4 \\  & &  y & + & 2 z & = & \,\,\, 4 \\ & &  y & + & 3 z & = & a- 4 \end{array} \)

Subtrahieren wir die zweite Gleichung von der dritten, so erhalten wir

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\, 4 \\  & & y& + & 2 \cdot z & = & \,\,\, 4 \\ & & &  & (3-2) \cdot z & = & a - 4 - 4 \end{array} \)

also

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\, 4 \\  & & y& + & 2 z & = & \,\,\, 4 \\ & & &  &  z & = & a - 8 \end{array} \)

Damit sehen wir, dass auf jeden Fall \(z = a-8\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, so wird diese zu

\(\qquad y + 2 \cdot (a-8) = 4 \)

woraus

\(\qquad y = 4 - (2a - 16 ) = 20 - 2a \)

folgt. Setzen wir \(z = a-8\) und \(y = 20 -2a\) in die erste Gleichung ein, so wird diese zu

\(\qquad x + 20 - 2a + a - 8 = 4 \)

woraus wir

\(\qquad x = 4 - (12 - a) = - 8 + a \)

erhalten. Damit sehen wir, dass das Gleichungssystem für jede Wahl von \(a\) lösbar ist und dann die Lösung

\(\qquad x = -8 + a, \quad y = 20 - 2a, \quad z = a-8 \)

hat.