Aufgabe 4 Koeffizienten im linearen Gleichungssystem
In technischen Anwendungen treten häufig lineare Gleichungssysteme auf. Gleichungssysteme mit etlichen tausend Gleichungen und Unbekannten sind dabei keine Seltenheit und bei der Analyse von Webseitenbeziehungen können sogar Gleichungssysteme mit mehreren Milliarden Gleichungen und Unbekannten auftreten. Das Arbeiten mit expliziten Gleichungssystemen ist dann offensichtlich sehr mühsam. Allerdings haben wir bei den behandelten Lösungsverfahren im letzten Abschnitt gesehen, dass mit den Unbekannten in dem Gleichungssystem selbst eigentlich nicht gearbeitet wird (d.h. keine Unbekannte muss quadriert oder mit einer anderen Unbekannten multipliziert oder sonst wie manipuliert werden). Wichtig waren in allen Fällen nur die Vorfaktoren der Unbekannten, also die Zahlen, die vor den Unbekannten stehen und die Zahlenwerte, die auf den rechten Seiten der Gleichheitszeichen stehen.
Beispiel:
Um das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} 2 x & + & 3 y & = & 5 \\ x & + & 5 y & = & 6 \end{array} \)
zu verstehen, reicht es zu wissen, dass in der ersten Gleichung vor der ersten Unbekannten der Faktor \(2\), vor der zweiten Unbekannten der Faktor \(3\) und auf der rechten Seite die Zahl \(5\) steht und dass in der zweiten Gleichung vor der ersten Unbekannten der Faktor \(1\), vor der zweiten Unbekannten der Faktor \(5\) und auf der rechten Seite die Zahl \(6\) steht. Das gesamte Eliminations- und Additionsverfahren kann nur mit Kenntnis dieser Zahlen durchgeführt werden.
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} 2 x & + & 3 y & = & 5 \\ x & + & 5 y & = & 6 \end{array} \)
zu verstehen, reicht es zu wissen, dass in der ersten Gleichung vor der ersten Unbekannten der Faktor \(2\), vor der zweiten Unbekannten der Faktor \(3\) und auf der rechten Seite die Zahl \(5\) steht und dass in der zweiten Gleichung vor der ersten Unbekannten der Faktor \(1\), vor der zweiten Unbekannten der Faktor \(5\) und auf der rechten Seite die Zahl \(6\) steht. Das gesamte Eliminations- und Additionsverfahren kann nur mit Kenntnis dieser Zahlen durchgeführt werden.
Definition:
Die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems sind die Faktoren, die vor den Unbekannten in den einzelnen Gleichungen stehen.
Tritt eine Unbekannte dabei isoliert (also ohne expliziten Vorfaktor) in einer Gleichung auf, so hat sie in dieser Gleichung den Koeffizienten \(1\), tritt sie in einer Gleichung gar nicht auf, so hat sie in dieser Gleichung den Koeffizienten \(0\).
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