Matrix: Beispiele Koeffizientenmatrix
Wir betrachten nun ein lineares Gleichungssystem in \(n\) Unbekannten \(x_1, \ldots, x_n\) und mit \(m\) Gleichungen. In seiner allgemeinen Form schreibt sich dieses Gleichungssystem als
\(\qquad \begin{array} {r c r c c c r c l} a_{1,1} \cdot x_1 & + & a_{1,2} \cdot x_2 & + & \quad \cdots \quad & + & a_{1,n} \cdot x_n & = & b_1 \\ a_{2,1} \cdot x_1 & + & a_{2,2} \cdot x_2 & + & \quad \cdots \quad & + & a_{2,n} \cdot x_n & = & b_2 \\ & \vdots & & & \ddots & & & \vdots & \\ a_{m,1} \cdot x_1 & + & a_{m,2} \cdot x_2 & + & \quad \cdots \quad & + & a_{m,n} \cdot x_n & = & b_m \\ \end{array} \)
mit geeigneten Koeffizienten \(a_{i,j}\) (von \(x_j\) in der \(i\)-ten Gleichung).
Definition:
Die Matrix
\(\qquad A = (a_{i,j}) = \left( \begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n} \end{matrix} \right) \)
heißt die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems,
\(\qquad \overrightarrow{b} = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \right) \)
heißt Ergebnisvektor und
\(\qquad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right) \)
heißt Vektor der Unbekannten des Gleichungssystems.
Merke:
Ein lineares Gleichungssystem ist durch seine Koeffizientenmatrix und durch seinen Ergebnisvektor schon eindeutig bestimmt.
Für ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix \(A = (a_{i,j})\), Ergebnisvektor \(\overrightarrow{b}\) und Vektor der Unbekannten \(\overrightarrow{x}\) schreiben wir kurz
\(\qquad A \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} \)
und nennen das die Darstellung des Gleichungssystems in Matrixschreibweise.
Für ein homogenes Gleichungssystem schreiben wir kurz
\(\qquad A \cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} \)
\(\enspace\)