Das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & 2 y & = & 5 \\ 2x & + & 3 y & = & 6 \end{array} \)
hat die Koeffizientenmatrix
\(\qquad A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \)
und den Ergebnisvektor
\(\qquad \overrightarrow{b} = \left( \begin{matrix} 5 \\ 6 \end{matrix} \right) \)
und Vektor der Unbekannten
\(\qquad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \)

Das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 2 \\ x & & & + & z & = & 4 \\ x & + & y & & & = & 1 \end{array} \)
hat die Koeffizientenmatrix
\(\qquad A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1  \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right) \)
und den Ergebnisvektor
\(\qquad \overrightarrow{b} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
und Vektor der Unbekannten
\(\qquad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)

Zu der Koeffizientenmatrix
\(\qquad A = \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 2  \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right) \)
und dem Ergebnisvektor
\(\qquad \overrightarrow{b} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \)
gehört das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & - & y & + & 2z & = & \,\,\, 2 \\ 2x & + & y &  &  & = & \, \,\, 2 \\ x & + & 2y & + & z & = &-2 \end{array} \)
mit dem Vektor der Unbekannten
\(\qquad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \)
Genauso hätten wir das zugehörige Gleichungssystem natürlich auch in der Form
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x_1 & - & x_2 & + & 2x_3 & = & \,\, 2 \\ 2x_1 & + &x_2 &  &  & = & \, \, 2 \\ x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = & -2 \end{array} \)
mit dem Vektor der Unbekannten
\(\qquad \overrightarrow{x} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right) \)
formulieren können. Die Bezeichnungen für die Unbekannten können also noch frei gewählt werden.