Koeffizientenmatrizen: Beispiele Augmentierte Matrix
Um einen vollständigen Überblick über ein Gleichungssystem mit einer einzigen Matrix zu haben, werden die Koeffizientenmatrix und der Ergebnisvektor zusammengefasst.
Definition:
Für ein Gleichungssystem mit \(m\) Gleichungen in \(n\) Unbekannten mit Koeffizientenmatrix \(A = (a_{i,j})\) und Ergebnisvektor \(\overrightarrow{b}\) heißt
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c c | c} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} & b_1 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n} & b_m \end{array} \right) \)
die augmentierte Matrix oder die erweiterte Matrix des Gleichungssystems.
Merke:
Die augmentierte Matrix eines Gleichungssystems entsteht aus der Koeffizientenmatrix, indem der Ergebnisvektor als weitere Spalte (abgetrennt durch einen Strich) mit aufgenommen wird.
Vor dem Strich stehen die Koeffizienten (die immer als Vorfaktor vor einer Unbekannten stehen), nach dem Strich stehen die Ergebnisse der Gleichungen.
Merke:
Lineare Gleichungssysteme und augmentierte Matrix bestimmen sich gegenseitig: Zu jedem linearen Gleichungssystem gehört eine eindeutig festgelegte augmentierte Matrix und zu jeder augmentierten Matrix gehört genau ein lineares Gleichungssystem.
Beispiel:
Das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 2 \\ x & & & + & z & = & 4 \\ x & + & y & & & = & 1 \end{array} \)
hat die augmentierte Matrix
\(\qquad ( A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 2 \\ x & & & + & z & = & 4 \\ x & + & y & & & = & 1 \end{array} \)
hat die augmentierte Matrix
\(\qquad ( A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \)
Beispiel:
Zur augmentierten Matrix
\(\qquad ( A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -2 \end{array} \right) \)
gehört das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c c} x & - & y & + & 2z & = & \, 2 \\ 2x & + &y & & & = & \, 2 \\ x & + & 2y & + & z & = & -2 \end{array} \)
\(\qquad ( A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -2 \end{array} \right) \)
gehört das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c c} x & - & y & + & 2z & = & \, 2 \\ 2x & + &y & & & = & \, 2 \\ x & + & 2y & + & z & = & -2 \end{array} \)
\(\enspace\)