Augmentierte Matrix Augmentierte Matrizen und Additionsverfahren: Beispiel
Die augmentierte Matrix beschreibt nicht nur ein lineares Gleichungssystem komplett, mit ihrer Hilfe lässt sich sogar das Additionsverfahren vollständig beschreiben. Dazu betrachten wir noch einmal das Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} 2x & + & 2 y & + & 4 z & = & 4 \\ 3 x & + & 5 y & + & 2z & = & 0 \\ 2x & + & 3y & + & 7 z & = & 6 \end{array} \)
das wir beim Additionsverfahren schon einmal untersucht haben. Die augmentierte Matrix zu diesem Gleichungssystem ist
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 2 & 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 7 & 6 \\ \end{array} \right) \)
Dividieren wir die erste Zeile dieser augmentierten Matrix durch \(2\), so erhalten wir die augmentierte Matrix
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 7 & 6 \\ \end{array} \right)\)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 5 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 7 & 6 \\ \end{array} \right)\)
Subtrahieren wir das Dreifache der ersten Zeile von der zweiten und das Doppelte der ersten Zeile von der dritten, so ergibt das die augmentierte Matrix
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)\)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -4 & -6 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)\)
Dividieren wir die zweite Zeile durch \(2\), so erhalten wir
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)\)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)\)
Subtrahieren wir die zweite Zeile dieser augmentierten Matrix von der dritten, so bekommen wir die augmentierte Matrix
\(\qquad\left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \\ \end{array} \right)\)
\(\qquad\left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \\ \end{array} \right)\)
Teilen wir schließlich noch die dritte Zeile durch \(5\), so ergibt das die augmentierte Matrix
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\)
Zu dieser augmentierten Matrix gehört nun das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & \,\, 2 \\ & & y & - & 2z & = & -3 \\ & & & & z & = & \,\, 1 \end{array} \)
also genau das gleiche reduzierte Gleichungssystem, das wir beim Additionsverfahren auch erhalten haben. Genauso wie dort erhalten wir daher auch hier die eindeutige Lösung
\(\qquad x = 1, \quad y = -1, \quad z = 1\)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 2 z & = & \,\, 2 \\ & & y & - & 2z & = & -3 \\ & & & & z & = & \,\, 1 \end{array} \)
also genau das gleiche reduzierte Gleichungssystem, das wir beim Additionsverfahren auch erhalten haben. Genauso wie dort erhalten wir daher auch hier die eindeutige Lösung
\(\qquad x = 1, \quad y = -1, \quad z = 1\)
\(\enspace\)