Augmentierte Matrizen und Additionsverfahren: Beis… Augmentierte Matrizen und Additionsverfahren
Das Additionsverfahren lässt sich also komplett mithilfe der augmentierten Matrix (und ohne Bezug zu den beteiligten Unbekannten) formulieren. Dazu lassen wir an einer augmentierten Matrix die folgenden Umformungen zu:
- Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl \(r \neq 0\).
- Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
- Vertauschen von zwei Zeilen.
Merke:
Durch die Umformungen 1., 2. und 3. lässt sich jede augmentierte Matrix auf Zeilen-Stufen-Form bringen, d.h. auf eine Form mit den folgenden Eigenschaften:
- Der erste von Null verschiedene Eintrag einer Zeile ist eine \(1\).
- Der erste von Null verschiedene Eintrag einer Zeile kommt immer an einer späteren Stelle als in der Vorgängerzeile.
Beispiel:
Die augmentierte Matrix
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 2 & 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 7 & 6 \\ \end{array} \right) \)
haben wir im vorangegangenen Beispiel mithilfe von Zeilenumformungen vom Typ 1. und 2. auf die Form
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \)
gebracht. Das ist offensichtlich eine Zeilen-Stufen-Form, wovon wir uns auch grafisch überzeugen können:
\(\qquad \left( \mkern1mu \begin{array} {c c c | c} \left|\,\,\llap{\underline{~~}}\underline{ 1 }\rlap{\underline{~~~~}}\right. & 1 & 2 & 2 \\ 0 & \left|\,\,\llap{\underline{~~}}\underline{ 1 }\rlap{\underline{~~~~}}\right. & -2 & -3 \\ 0 & 0 & \left|\,\,\llap{\underline{~~}}\underline{ 1 }\rlap{\underline{~~~~~~~~~~}}\right. & 1 \\\end{array} \right) \)
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 2 & 2 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 7 & 6 \\ \end{array} \right) \)
haben wir im vorangegangenen Beispiel mithilfe von Zeilenumformungen vom Typ 1. und 2. auf die Form
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \)
gebracht. Das ist offensichtlich eine Zeilen-Stufen-Form, wovon wir uns auch grafisch überzeugen können:
\(\qquad \left( \mkern1mu \begin{array} {c c c | c} \left|\,\,\llap{\underline{~~}}\underline{ 1 }\rlap{\underline{~~~~}}\right. & 1 & 2 & 2 \\ 0 & \left|\,\,\llap{\underline{~~}}\underline{ 1 }\rlap{\underline{~~~~}}\right. & -2 & -3 \\ 0 & 0 & \left|\,\,\llap{\underline{~~}}\underline{ 1 }\rlap{\underline{~~~~~~~~~~}}\right. & 1 \\\end{array} \right) \)
Merke:
Zu einer augmentierten Matrix in Zeilen-Stufen-Form gehört immer ein lineares Gleichungssystem, für das sich die Lösbarkeit leicht entscheiden lässt. Falls es lösbar ist, so können durch Rückwärtsrechnen aus der letzten Gleichung alle Lösungen bestimmt werden.
\(\enspace\)