Augmentierte Matrizen und Additionsverfahren Additionsverfahren in Matrizenschreibweise: Beispiel
Beispiel:
Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} 2x & + & 2 y & + & 6 z & = & \,\, 8 \\ 3 x & + & 3 y & + & 2z & = & \,\, 5 \\ x & - & y & + & z & = & -4 \end{array} \)
Dieses Gleichungssystem hat die augmentierte Matrix
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 2 & 2 & 6 & 8 \\ 3 & 3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & -4 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 2 & 2 & 6 & 8 \\ 3 & 3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & -4 \\ \end{array} \right) \)
Division der ersten Zeile durch \(2\) ergibt
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & -4 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & -4 \\ \end{array} \right) \)
Subtraktion des Dreifachen der ersten Zeile von der Zweiten und der ersten Zeile von der Dritten führt zu
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ \end{array} \right) \)
Um Zeilen-Stufen-Form zu erreichen, müssen wir jetzt die zweite und die dritte Zeile vertauschen und erhalten
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \\ \end{array} \right) \)
Division der zweiten Zeile durch \(-2\) und der dritten Zeile durch\( -7\) liefert
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Zu dieser augmentierten Matrix gehört nun das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 3 z & = & 4 \\ & & y & +& z & = & 4 \\ & & & & z & = & 1 \end{array} \)
und wir sehen sofort, dass \(z = 1\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, wird diese zu
\(\qquad y + 1 = 4 \)
woraus wir \(y = 3\) erhalten. Mit \(z = 1\) und \(y = 3\) wird die erste Gleichung zu
\(\qquad x + 3 + 3 \cdot 1 = 4 \)
womit \(x = -2\) folgt. Damit erhalten wir die eindeutige Lösung
\(\qquad x = -2, \quad y = 3, \quad z = 1 \)
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & 3 z & = & 4 \\ & & y & +& z & = & 4 \\ & & & & z & = & 1 \end{array} \)
und wir sehen sofort, dass \(z = 1\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, wird diese zu
\(\qquad y + 1 = 4 \)
woraus wir \(y = 3\) erhalten. Mit \(z = 1\) und \(y = 3\) wird die erste Gleichung zu
\(\qquad x + 3 + 3 \cdot 1 = 4 \)
womit \(x = -2\) folgt. Damit erhalten wir die eindeutige Lösung
\(\qquad x = -2, \quad y = 3, \quad z = 1 \)
Beispiel:
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2 y & + & 3 z & = & 5 \\ 3 x & + & 2 y & + & z & = & 3 \\ x & + & y & + & z & = & 3 \end{array} \)
Dieses Gleichungssystem hat die augmentierte Matrix
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad (A \vert \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ \end{array} \right) \)
Subtrahieren wir dreimal die erste Zeile von der Zweiten und einmal die erste Zeile von der Dritten, so wird daraus
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -4 & -8 & -12 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & -4 & -8 & -12 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array} \right) \)
Division der zweiten Zeile durch \(-4\) führt zu
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ \end{array} \right) \)
Addieren wir die zweite Zeile zur Dritten, so erhalten wir
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
\(\qquad \left( \begin{array} {c c c | c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Damit haben wir Zeilen-Stufen-Form erreicht. Das zugehörige Gleichungssystem ist hier
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3 z & = & 5 \\ & & y & + & 2z & = & 3 \\ & & & & 0 & = & \,\, 1 \end{array} \)
Hier hat die dritte Gleichung keine Lösung, und daher ist das gesamte Gleichungssystem nicht lösbar.
\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & 2y & + & 3 z & = & 5 \\ & & y & + & 2z & = & 3 \\ & & & & 0 & = & \,\, 1 \end{array} \)
Hier hat die dritte Gleichung keine Lösung, und daher ist das gesamte Gleichungssystem nicht lösbar.
\(\enspace\)