Für jedes \(m\) und \(n\) hat das Gleichungssystem eine Lösung, wenn \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\).

Bezeichnen wir die Unbekannten mit \(x_1\) bis \(x_n\), so ist

\(\quad x_1 = 0, \, \ldots \, , x_n = 0 \)

eine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Ist dagegen \(m=2\) und \(n = 3\), so hat das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & + & z & = & 2 \end{array} \)

keine Lösung.

Ist \(m=3\) und \(n = 2\), so hat das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & y & = & 1 \\ 2x & + & 2y & = & 2 \\ 3x & + & 3y & = & 3 \end{array} \)

Lösungen (sogar unendlich viele).

Ist schließlich \(m=3\) und \(n = 3\), so hat das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & + & z & = & 2 \\ x & + & y & + & z & = & 3 \end{array} \)

keine Lösung.