Aufgabe 1 Aufgabe 2
In einem Mathetest gibt es \(50\) Fragen. Jede Frage ist entweder \(3\) oder \(5\) Punkte wert. Insgesamt können in dem Test \(190\) Punkte erreicht werden. Wie viele Fragen gibt es, die drei Punkte wert sind? Erklärung Lösung: Es gibt \(30 \) Fragen, die mit drei Punkten bewertet werden. Erläuterung: Wir bezeichnen mit \(x\) die Anzahl der Fragen, auf die es \(3\) Punkte gibt, und mit \(y\) die Anzahl der Fragen, auf die es \(5\) Punkte gibt. Dann wissen wir aus den Angaben, dass gelten muss \(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & y & = & 50 \\ 3 x & + & 5 y & = & 190 \end{array} \) Wir haben also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu lösen. Das Gleichungssystem hat die augmentierte Matrix \(\qquad (A \, \vert \, \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c | c } 1 & 1 & 50 \\ 3 & 5 & 190 \end{array} \right) \) Subtrahieren wir die erste Zeile dreimal von der zweiten, so wird sie zu \( \qquad \left( \begin{array} {c c | c } 1 & 1 & 50 \\ 0 & 2 & 40 \end{array} \right) \) Dividieren wir die zweite Zeile durch \(2\), so erhalten wir \(\qquad \left( \begin{array} {c c | c } 1 & 1 & 50 \\ 0 & 1 & 20 \end{array} \right) \) und dazu gehört das Gleichungssystem \(\qquad \begin{array} {r c r c l} x & + & y & = & 50 \\ & & y & = & 20 \end{array} \) Daraus lesen wir unmittelbar ab, dass es \(y = 20\) Fragen mit \(5\) Punkten gibt. Aus der ersten Gleichung erhalten wir damit sofort, dass der Test \(\qquad x = 50 - 20 = 30 \) Fragen mit \(3\) Punkten hat. |  |
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