Das Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung \(x=3\), \(y = 1\) und \(z = -2\),

\(\qquad \mathbb L = \{ (3, \, 1, \, -2) \} \)

Das Gleichungssystem hat die augmentierte Matrix

\(\qquad (A \, \vert \, \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & -2 & 3  \end{array} \right) \)

Subtrahieren wir die erste Zeile zweimal von der zweiten und addieren wir sie einmal zur dritten, so wird daraus

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 5  \end{array} \right) \)

Dividieren wir die zweite Zeile durch \(-2\), so erhalten wir

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 5  \end{array} \right) \)

Subtrahieren wir die zweite Zeile dreimal von der dritten, so ergibt das

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac {5}{2} & 5  \end{array} \right) \)

Dividieren wir die dritte Zeile durch \(-\dfrac {5}{2}\), so erhalten wir

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac {1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2  \end{array} \right) \)

also eine augmentierte Matrix in Zeilen-Stufen-Form.

Zu dieser augmentierten Matrix gehört das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l}  x & + & y & + & z & = & \,\, 2 \\  &  &  y & + & \dfrac {1}{2} \cdot z & = &  \, \, 0 \\ &  & & & z & = & \,\, -2 \end{array} \)

Aus der dritten Gleichung sehen wir jetzt sofort, dass \(z = -2\) gelten muss. Setzen wir das in die zweite ein, so wird diese zu

\(\qquad y + \dfrac {1}{2} \cdot (-2) = 0 \)

woraus wir

\(\qquad y = 0 - \dfrac {1}{2} \cdot (-2) = 1 \)

erhalten. Setzen wir nun \(z = -2\) und \(y= 1\) in die erste Gleichung ein, so wird diese zu

\(\qquad x + 1 + (-2) = 2 \)

woraus

\(\qquad x = 2 -1 + 2 = 3 \)

folgt. Damit erhalten wir die eindeutige Lösung

\(\qquad x = 3, \quad y = 1, \quad z = -2 \)