Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen,

\(\qquad \mathbb L = \{ (1+r, \, 1-2r, \, r ) \, \vert \,\, r \in \mathbb R \} \)

Das Gleichungssystem hat die augmentierte Matrix

\(\qquad (A \, \vert \, \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3  \end{array} \right) \)

Subtrahieren wir die erste Zeile von der zweiten, so wird daraus

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1  \end{array} \right) \)

und wir haben bereits Zeilen-Stufen-Form erreicht.

Zu dieser augmentierten Matrix gehört das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l}  x & + & y & + & z & = & 2 \\  &  &  y & + & 2 z & = & 1 \end{array} \)

Die zweite Gleichung ist hier eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten. Wir können daher für \(z\) eine beliebige Zahl einsetzen, \(z = r\), und erhalten dann

\(\qquad y + 2 r = 1 \)

woraus wir

\(\qquad y = 1 - 2r  \)

erhalten. Setzen wir nun \(z = r\) und \(y= 1 - 2r\) in die erste Gleichung ein, so wird diese zu

\(\qquad x + 1 -2r + r = 2 \)

woraus

\(\qquad x = 2 -1 + 2r - r  = 1+r \)

folgt. Damit erhalten wir unendlich viele Lösungen von der Form

\(\qquad x = 1+r, \quad y = 1-2r, \quad z = r \)

mit \(r \in \mathbb R\) beliebig.