Das Gleichungssystem hat für \(a=6\) unendlich viele Lösungen, die die Form 

\(\qquad x = r, \quad y = 3 - 2r, \quad z = r  \)

haben, also die Lösungsmenge

\(\qquad \mathbb L = \left\{ (r, \, 3-2r, \, r) \, \vert \, r \in \mathbb R \right\} \)

Für alle anderen \(a\) ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

Das Gleichungssystem hat die augmentierte Matrix

\(\qquad (A \, \vert \, \overrightarrow{b} ) = \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & a  \end{array} \right) \)

(wobei hier die augmentierte Matrix von dem Parameter \(a\) abhängt).

Subtrahieren wir die erste Zeile einmal von der zweiten und dreimal von der dritten, so erhalten wir

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & a-9  \end{array} \right) \)

Addieren wir die zweite Zeile zur dritten, so wird daraus

\(\qquad  \left( \begin{array} {c c c | c } 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & a-6  \end{array} \right) \)

Damit haben wir eine Zeilen-Stufen-Form erreicht.

Dazu gehört das Gleichungssystem

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & \,\,\, 3 \\  & & y & + & 2 z & = & \,\,\, 3 \\ & & &  &  0 & = & a - 6 \end{array} \)

Damit sehen wir, dass wir hier zwei Fälle zu unterscheiden haben:

Fall 1: \(\quad a = 6\)

In diesem Fall wird die dritte Gleichung zu 

\(\qquad 0 = 0 \)

ist also immer und für jede Wahl von \(x\), \(y\) und \(z\) erfüllt.

Das Gleichungssystem reduziert sich daher zu

\(\qquad \begin{array} {r c r c r c l} x & + & y & + & z & = & 3 \\  & & y & + & 2 z & = & 3  \end{array} \)

Die zweite Gleichung ist nun eine lineare Gleichung in zwei Unbekannten. Wenn wir \(z = r\) beliebig wählen, so wird daraus

\(\qquad y + 2 r = 3 \)

woraus

\(\qquad y = 3 -2r \)

folgt. Setzen wir \(z = r\) und \(y = 3 -2r\) in die erste Gleichung ein, so wird diese zu

\(\qquad x + 3-2r + r = 3 \)

woraus wir

\(\qquad x = 3 - 3 + 2r - r = r\)

erhalten. Damit sehen wir, dass das Gleichungssystem für \(a=6\) lösbar ist und dann die Lösungen

\(\qquad x = r, \quad y = 3 - 2r, \quad z = r \)

(mit \(r \in \mathbb R\) beliebig) hat.

Fall 2: \(\quad a \neq 6\)

In diesem Fall ist die dritte Gleichung

\(\qquad 0 = a- 6 \)

für keine Wahl von \(x\), \(y\) und \(z\) lösbar. Und damit hat auch das gesamte Gleichungssystem keine Lösung.