Eine grundlegende Aufgabe der Ableitung ist die Beschreibung der Steigung der Funktion in einem Punkt. Dabei ist die Steigung zunächst nur für eine lineare Funktion \(f(x) =ax+b\) eindeutig definiert.

Immer wenn wir – ausgehend von einer Stelle \(x_0\) – den \(x\)–Wert um \(\Delta x\) auf \(x_0 + \Delta x\) ändern, ändert sich der Funktionswert von \(f(x_0) = a x_0+b\) auf

\(\qquad f(x_0+ \Delta x) =a·(x_0+ \Delta x) +b=a·x_0+ a\cdot \Delta x +b=\overbrace{a·x_0+b}^{f(x_0)}+ a\cdot \Delta x \)

also um \(\Delta y=a·\Delta x\).

Daraus ergibt sich eine Steigungsrate

\(\qquad \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=a\)

Sie ist unabhängig von der Wahl von \(\Delta x\).

In der folgenden Grafik sind auf der \(x\)-Achse die Stellen \(x_0\) und \(x_0+\Delta x\) mit der dazwischenliegenden Strecke \(\Delta x\) eingezeichnet. Auf der \(y\)-Achse sind die Stellen \(f(x_0)\) und \(f(x_0+\Delta x)\) mit der dazwischenliegenden Strecke \(\Delta y\) dargestellt.