Bei nicht-linearen Funktionen ist dieses Verhältnis aber nicht mehr konstant.

Betrachten wir etwa die quadratische Funktion \(f(x) =x^2\) und die Stelle \(x_0= 1\) mit zugehörigem Funktionswert \(f(x_0) = 1\), also den Punkt \(P(1\,|\,1)\).

Für \( \Delta x_1= 0.1\) erhalten wir die Stelle \(x_0 + \Delta x_1\) mit dem Funktionswert \(f(x_0+\Delta x_1) = 1.1^2= 1.21\), also den Punkt \(Q_1(1.1\,|\,1.21)\). Zwischen dem Punkt \(P\) und dem Punkt \(Q_1\) bedeutet dies eine Änderung in \(y\) von \(\Delta y_1\) \( = 1.21-1\) \(=0.21\). Dies entspricht einem Verhältnis von \(\frac{\Delta y_1}{\Delta x_1}=\frac{0.21}{0.10}= 2.1\).

Für \(\Delta x_2= 1.0\) erhalten wir die Stelle \(x_0 + \Delta x_2\) mit dem Funktionswert \(f(x_0+ \Delta x_2) = 2^2 = 4\), also den Punkt \(Q_2(2\,|\,4)\). Zwischen dem Punkt \(P\) und dem Punkt \(Q_2\) bedeutet dies eine Änderung in \(y\) von \(\Delta y_2\) \(= 4-1\) \(=3\). Dies entspricht einem Verhältnis von \(\frac{\Delta y_2}{\Delta x_2}=\frac{3}{1}= 3\). Wir erhalten also einen anderen Wert.

Der Grund hierfür ist, dass die Gerade \(G_1\) durch \(P (1\,|\,1)\) und \(Q_1 (1.1\,|\,1.21)\) nicht mit der Geraden \(G_2\) durch \(P\) und \(Q_2 (2\,|\,4)\) übereinstimmt. Beide Sekanten fallen nicht – wie bei der linearen Funktion der vorhergehenden Seite – mit dem Funktionsgraphen zusammen und haben unterschiedliche Steigungen.

Klicken Sie in der Grafik auf die Schaltfläche "Sekante \(G_1\)", um die Gerade durch \(P\) und \(Q_1\) angezeigt zu bekommen, und auf die Schaltfläche "Sekante \(G_2\)", um die Gerade durch \(P\) und \(Q_2\) angezeigt zu bekommen.

Sie können die Punkte \(P\), \(Q_1\) und \(Q_2\) verschieben, indem Sie den Punkt mit der Maus entlang der Funktion \(f\) bewegen.

Voreingestellt ist \(P(1\,|\,1)\), \(Q_1(1.1\,|\,1.21)\) und \(Q_2(2\,|\,4)\) und die Anzeige der Sekante durch \(P\) und \(Q_1\).