Der Ansatz, die Sekanten durch den Punkt \(P\) und einen weiteren Punkt \(Q\) auf dem Funktionsgraphen zu untersuchen, bringt uns auf den richtigen Weg.

Lassen wir in der folgenden Animation den Punkt \(Q\) immer näher an den Punkt \(P\) heranrücken, d.h. wählen wir \(\Delta x\) immer näher an \(0\), so sehen wir, dass sich die Sekanten in diesem Beispiel einer Geraden \(T\) annähern. Liegen die Punkte \(Q\) und \(P\) übereinander, dann geht die Sekante in die Gerade \(T\) über.

Durch das Anfassen des Punktes \(Q\) mit der linken Maustaste, bei gleichzeitigem Ziehen, kann der Punkt \(Q\) auf der Funktion verschoben werden. Auf der \(x\)-Achse wird \(\Delta x\), also die Differenz der \(x\)-Werte von Punkt \(Q\) zu Punkt \(P\), dargestellt.

Der Punkt \(Q \) kann auch links von \(P\) liegen, also einen kleineren \(x\)-Wert als \(P\) aufweisen. \(\Delta x\) nimmt dann einen negativen Wert an.

Berechnen wir die Abweichungen \(\Delta y=f(1 + \Delta x)−f(1)\) der Funktionswerte und die Quotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) für Werte von \(\Delta x\), die nahe an \(0\) liegen, so erhalten wir die folgenden Werte:

Je mehr sich \(\Delta x\) der \(0\) annähert, desto mehr nähert sich also \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) dem Wert \(2\) an. Und desto mehr nähern sich die Sekanten einer Grenzgeraden (mit Steigung \(2\)) an. Diese Grenzgerade schneidet den Funktionsgraphen nicht mehr, sondern berührt ihn nur noch. Die Steigung dieser Grenzgeraden kann daher als Steigungswert der Funktion in diesem Punkt betrachtet werden.