Annäherung an die Grenzgerade Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate
Die anschaulichen Darstellungen der vorhergehenden Seiten können wir nun verallgemeinern.
Wir betrachten hierzu eine Funktion \(f : D \longrightarrow \mathbb{R}\), wobei \(D\) ein offenes Intervall oder eine Vereinigung offener Intervalle ist (wobei wir auch die Fälle \(D =\ ]a,∞[\) oder \(D =\ ]−∞,b[\) oder \(D = \mathbb{R}\) zulassen), und eine Stelle \(x_0\) im Intervall \(D\).
Definition:
Wir betrachten eine Funktion \( f : D \longrightarrow \mathbb{R}\) mit dem offenen Intervall \(D\) und eine Stelle \(x_0\in D\).
Für \(\Delta x \gt 0\) heißt
\(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
der Differenzenquotient von \(f\) im Intervall \([x_0,x_0+\Delta x]\).
Spechweise: Delta \(f\) nach Delta \(x\)
Oft bezeichnet man den Differenzenquotienten auch mit \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\).
Der Differenzenquotient entspricht der durchschnittlichen oder mittleren Änderungsrate einer Funktion in einem Intervall und damit der Steigung der Sekante durch die Punkte \((x_0\,|\,f(x_0))\) und \((x_0+\Delta x\,|\,f(x_0+\Delta x))\). In der nebenstehenden Grafik ist die Funktion \(f(x)\) und die Sekante zwischen den Punkten \((x_0\,|\,f(x_0))\) und \((x_0+\Delta x\,|\,f(x_0+\Delta x))\) eingezeichnet und das sich daraus ergebende Steigungsdreieck. | \(\quad\) |  |
Mit dem Differenzenquotienten kann z.B. beschrieben werden
- die mittlere Steigung,
- die mittlere Volumenzunahme,
- die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit).
Beispiel:
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt das Weg-Zeit-Gesetz
\(\qquad s(t)=\dfrac{1}{2}a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\)
mit Beschleunigung \(a\), Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und Anfangsweg \(s_0\), das den zurückgelegten Weg (in \(\mathrm{m}\)) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) (gemessen in \(\mathrm{s}\)) angibt.
Wir betrachten nun einen Zug in gleichmäßig beschleunigter Bewegung mit \(a=2 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\), \(v_0=0\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) und \(s_0=0 \ \mathrm{m}\).
Der zurückgelegte Weg dieses Zuges wird dann durch die Funktion
\(\qquad f(t)= t^2\)
beschrieben mit \(f(t)\) als Weg in Metern \(\mathrm{m}\) und \(t\) als Zeit in Sekunden \(\mathrm{s}\).
Wir berechnen nun die durchschnittliche Geschwindigkeit des Zuges zwischen der dritten und der siebten Sekunde:
\(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta t}\) \(=\dfrac{f(7)-f(3)}{7-3}\) \(=\dfrac{7^2-3^2}{4}\) \(=\dfrac{49-9}{4}\) \(=\dfrac{40}{4}=10\)
Zwischen der dritten und der siebten Sekunde fährt der Zug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von \(10 \ \mathrm{m/s}\).
\(\enspace\)