Beispiel Landeanflug Aufgabe 1
Gegeben ist die folgende Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\): \(\qquad f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+2\) Berechnen Sie die mittleren Änderungsraten von \(f\) auf den Intervallen
Erklärung Lösung: Die mittlere Änderungsrate für \(f\) im Intervall \([1,2.5]\) beträgt \(0.75\). Die mittlere Änderungsrate für \(f\) im Intervall \([-4,2]\) beträgt \(-2\). Die mittlere Änderungsrate für \(f\) im Intervall \([2,3]\) beträgt \(1.5\). Schaubild Erläuterung: Die mittlere Änderungsrate für \(f\) im Intervall \([1,2.5]\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(2.5)-f(1)}{2.5-1}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(0.5\cdot 2.5^2-2.5+2)-(0.5\cdot 1^2-1+2)}{1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(3.125-2.5+2)-(0.5-1+2)}{1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{2.625-1.5}{1.5}\) \(=\dfrac{1.125}{1.5}=0.75\) Die mittlere Änderungsrate für \(f\) im Intervall \([-4,2]\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) \(=\dfrac{f(-4)-f(2)}{-4-2}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(0.5\cdot (-4)^2-(-4)+2)-(0.5\cdot 2^2-2+2)}{-6}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(8+4+2)-(2-2+2)}{-6}\) \(=\dfrac{14-2}{-6}\) \(=\dfrac{12}{-6}=-2\) Die mittlere Änderungsrate für \(f\) im Intervall \([2,3]\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) \(=\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(0.5\cdot 3^2-3+2)-(0.5\cdot 2^2-2+2)}{1}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=(4.5-3+2)-(2-2+2)\) \(=3.5-2=1.5\) |  |
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