Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die folgende Funktion \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\longrightarrow \mathbb{R}\): \(\qquad f(x)=\dfrac{x}{x-1}\) Berechnen Sie die Differenzenquotienten von \(f\) auf den Intervallen
Erklärung Lösung: Der Differenzenquotient für \(f\) im Intervall \([1.5,3]\) beträgt \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=-1\). Der Differenzenquotient für \(f\) im Intervall \([-1,0.5]\) beträgt \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=-1\). Schaubild Erläuterung: Der Differenzenquotient für \(f\) im Intervall \([1.5,3]\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}\)\(=\dfrac{f(3)-f(1.5)}{3-1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{\dfrac{3}{3-1}-\dfrac{1.5}{1.5-1}}{1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1.5}{0.5}}{1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{1.5-3}{1.5}\) \(=\dfrac{-1.5}{1.5}\) \(=-1\) Der Differenzenquotient für \(f\) im Intervall \([-1,0.5]\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) \(=\dfrac{f(0.5)-f(-1)}{0.5-(-1)}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{\dfrac{0.5}{0.5-1}-\dfrac{-1}{-1-1}}{1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{\dfrac{0.5}{-0.5}-\dfrac{-1}{-2}}{1.5}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{-1-0.5}{1.5}\) \(=\dfrac{-1.5}{1.5}\) \(=-1\) |  |
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