Aufgabe 2 Aufgabe 3
Erklärung Lösung: Der Differenzenquotient für \(f\) im Intervall \([1,4]\) beträgt \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{7}{3}\). Die Sekante zwischen den Punkten \(P(1\,|\,2)\) und \(Q(4\,|\,9)\) lautet \(y=\dfrac{7}{3}x-\dfrac{1}{3}\). Schaubild  Erläuterung: Der Differenzenquotient für \(f\) im Intervall \([1,4]\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}\)\(=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(\sqrt{4^3}+1)-(\sqrt{1^3}+1)}{3}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(\sqrt{64}+1)-(\sqrt{1}+1)}{3}\) \(\phantom{\qquad \dfrac{\Delta f}{\Delta x}}=\dfrac{(8+1)-(1+1)}{3}\) \(=\dfrac{9-2}{3}\) \(=\dfrac{7}{3}\) Die Steigung der Sekante durch \(P(1\,|\,2)\) und \(Q(4\,|\,9)\) entspricht dem Differenzenquotienten \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{7}{3}\). Wir können für die Sekante also die folgende lineare Funktion ansetzen: \(\qquad y=\dfrac{7}{3}x+b\) Wir können nun wahlweise \(P(1\,|\,2)\) oder \(Q(4\,|\,9)\) einsetzen und erhalten nach dem Einsetzen von \(P(1\,|\,2)\): \(\qquad 2=\dfrac{7}{3}\cdot 1 +b\) Wir lösen die Gleichung nach \(b\) auf: \(\qquad b=2-\dfrac{7}{3}=\dfrac{2\cdot 3}{3}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{3}-\dfrac{7}{3}=-\dfrac{1}{3}\) Die Gleichung der Sekante lautet also: \(\qquad y=\dfrac{7}{3}x-\dfrac{1}{3}\) |  |
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