Aufgabe 3 Differentialquotient und momentane Änderungsrate
Wir betrachten nun erneut eine Funktion im Intervall \([x_0,x_0+\Delta x]\) mit dem Punkt \(P\) am linken Intervallrand und dem Punkt \(Q\) am rechten Intervallrand. Wie wir bereits bei der Annäherung an die Grenzgerade gesehen haben, nähert sich der Punkt \(Q\) immer mehr dem Punkt \(P\), wenn wir das Intervall kleiner machen. Lassen wir \(\Delta x\) gegen \(0\) gehen, so geht der Punkt \(Q\) in den Punkt \(P\) über.
Diesen Übergang können wir als Grenzwert schreiben.
Definition:
Falls der Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x \to 0\) existiert, so heißt
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(x_0)=f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
der Differentialquotient oder die Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\).
Sprechweise: \(\mathrm{d} f\) nach \(\mathrm{d} x\)
Der Differentialquotient entspricht der momentanen oder lokalen Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle und damit der Steigung der Tangente an \(f\) durch den Punkt \((x_0\,|\,f(x_0))\). | \(\quad\) |  |
Mit dem Differentialquotienten kann z.B. beschrieben werden
- die lokale Steigung,
- die momentane Volumenzunahme,
- die momentane Geschwindigkeit.
Merke:
Oft sieht man auch die folgende Definition des Differentialquotienten:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(x_0)=f'(x_0)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
Beispiel:
Wir greifen erneut das Beispiel des Zuges auf, wie wir es bereits bei der mittleren Änderungsrate erläutert haben.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt das Weg-Zeit-Gesetz
\(\qquad s(t)=\dfrac{1}{2}a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\)
mit Beschleunigung \(a\), Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und Anfangsweg \(s_0\), das den zurückgelegten Weg (in \(\mathrm{m}\)) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) (gemessen in \(\mathrm{s}\)) angibt.
Der zurückgelegte Weg des Zuges in gleichmäßig beschleunigter Bewegung mit \(a=2 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\), \(v_0=0\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) und \(s_0=0 \ \mathrm{m}\) wird durch die Funktion
\(\qquad f(t)=t^2\)
beschrieben mit \(f(t)\) als Weg in Metern \(\mathrm{m}\) und \(t\) als Zeit in Sekunden \(\mathrm{s}\).
Wir berechnen nun die momentane Geschwindigkeit des Zuges nach \(3\) Sekunden.
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}(3)\) \(=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{f(3+\Delta t)-f(3)}{\Delta t}\)
Wir setzen die Funktionswerte ein und wenden die 1. binomische Formel an. Hiermit erhalten wir:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}(3)\) \(=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{(3+\Delta t)^2-3^2}{\Delta t}\)
\(\phantom{\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}(3)}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{9+6\Delta t +(\Delta t)^2-9}{\Delta t}\)
Wir vereinfachen die Gleichung und klammern \(\Delta t\) aus:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}(3)\) \( =\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{6\Delta t +(\Delta t)^2}{\Delta t}\) \(=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta t \cdot (6+\Delta t)}{\Delta t}\)
Wir kürzen \(\Delta t\) und erhalten den folgenden Grenzwert:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}(3)\) \(=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(6+\Delta t)\) \(=6\)
Der Zug fährt nach \(3\) Sekunden mit einer Geschwindigkeit von \(6 \ \mathrm{m/s}\).
\(\enspace\)