Differentialquotient und momentane Änderungsrate Beispiel Landeanflug
Wir betrachten erneut das Beispiel des Landeanflugs eines Sportflugzeugs und berechnen die momentane Sinkgeschwindigkeit des Flugzeugs.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt das Weg-Zeit-Gesetz
\(\qquad s(t)=\dfrac{1}{2}a\cdot t^2+v_0\cdot t+s_0\)
mit Beschleunigung \(a\), Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und Anfangsweg \(s_0\), das den zurückgelegten Weg (in \(\mathrm{m}\)) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) (gemessen in \(\mathrm{min}\)) angibt.
Da das Flugzeug sinkt, ist die Anfangsgeschwindigkeit negativ. Das Flugzeug wird hierbei langsamer, was sich in einer positiven konstanten Beschleunigung ausdrückt.
Wir betrachten ein Sportflugzeug in gleichmäßig beschleunigter Bewegung mit \(a=70 \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}^2}\), \(v_0=-350\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}\) und \(s_0=875 \ \mathrm{m}\).
Die Höhe des Sportflugzeugs beim Landeanflug wird durch die folgende Funktion beschrieben:
\(\qquad h(t)=35t^2-350t+875\)
Die Zeit \(t\) wird hierbei in Minuten (\(\mathrm{min}\)) gemessen, der Funktionswert \(h\) gibt die Flughöhe in Metern (\(\mathrm{m}\)) an.
Bei Beginn des Landeanflugs gilt \(t=0\).
Wie wir aus vorangegangener Betrachtung gesehen haben, hat das Flugzeug zu Beginn eine Höhe von \(875 \ \mathrm{m}\) und landet nach \(5 \ \mathrm{min}\).
Erläuterung
Das Flugzeug hat zu Beginn eine Höhe von \(875 \ \mathrm{m}\), denn \(h(0)=35 \cdot 0^2-350\cdot 0+875=875\).
Das Flugzeug landet nach \(5 \ \mathrm{min}\). Hierzu rechnen wir wie folgt:
\(\qquad h(t)=0\)
\(\qquad 35t^2-350t+875=0\)
Nach Division durch \(35\) ergibt sich:
\(\qquad t^2-10t+25=0\)
Wir formen die linke Seite durch die 2. binomische Formel um und erhalten:
\(\qquad (t-5)^2=0\)
Die Lösung dieser Gleichung lautet:
\(\qquad t=5\)
Wie hoch ist die momentane Sinkgeschwindigkeit eine Minute vor der Landung?
Hierzu müssen wir den Differentialquotienten nach \(4\) Minuten, also an der Stelle \(t=4\), berechnen:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{h(4+\Delta t)-h(4)}{\Delta t}\)
Wir setzen die Funktionswerte ein und erhalten:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{(35\cdot (4+\Delta t)^2-350\cdot (4+\Delta t)+875)-(35\cdot 4^2-350\cdot 4+875)}{\Delta t}\)
Nun lösen wir die Klammern auf und vereinfachen die Terme:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{(35\cdot (16+8\Delta t+(\Delta t)^2)-1400-350\Delta t+875)-(35 \cdot 16-350\cdot 4+875)}{\Delta t}\)
Wir fassen weiter zusammen:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{35 \cdot 16+35\cdot 8 \Delta t+35(\Delta t)^2-1400-350\Delta t+875-35\cdot 16+350\cdot 4-875}{\Delta t}\)
Wir vereinfachen die Terme:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{35\cdot 8 \Delta t+35(\Delta t)^2-350\Delta t}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{-70 \Delta t+35(\Delta t)^2}{\Delta t}\)
Wir klammern \(\Delta t\) aus und erhalten:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta t\cdot(-70 + 35\Delta t)}{\Delta t}\)
Nun kürzen wir \(\Delta t\). Wir erhalten den folgenden Differentialquotienten:
\(\qquad \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}(4)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(-70 + 35 \Delta t)=-70\)
Die momentane Sinkgeschwindigkeit eine Minute vor der Landung beträgt somit \(-70 \ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{min }}\).
Die folgende Animation zeigt die momentane Sinkgeschwindigkeit beim Landeanflug.
Durch Bewegen des Schiebereglers kann die Anzahl Minuten nach Beginn des Landeanflugs eingestellt werden. Der Schieberegler kann zwischen \(0\) Minuten (Beginn des Landeanflugs) und \(5\) Minuten (Ende des Landeanflugs) gewählt werden. Voreingestellt ist \(4\) Minuten nach dem Landeanflug.
Es werden außerdem die aktuelle Sinkgeschwindigkeit angezeigt und die Tangente an die Funktion gezeichnet.
\(\enspace\)