Existiert der Differentialquotient, so können wir eine Funktion bilden, die eine lineare Approximation an \(f\) im Punkt \(P(x_0\,|\,f(x_0))\) darstellt. Diese Gerade wird wie folgt beschrieben:

Die Steigung einer Funktion an der Stelle \(x_0\) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) durch den Punkt \(P(x_0\,|\,f(x_0))\). Diese Steigung heißt Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x_0\) und wird mit \(f'(x_0)\) bezeichnet.

Wir möchten die Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(x_0=2\) und die Tangente an die Funktion an dieser Stelle berechnen. Hierzu bilden wir zuerst den Grenzwert des Differenzenquotienten, d.h. wir berechnen den Differentialquotienten, und erhalten:

\(\qquad f'(2)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\)

Wir setzen die Funktionswerte ein und vereinfachen den Bruch:

\(\qquad f'(2)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{(2+\Delta x)^2-2^2}{\Delta x}\)

\(\phantom{\qquad f'(2) }=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{4+4\Delta x +(\Delta x)^2-4}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{4\Delta x +(\Delta x)^2}{\Delta x}\)

Wir klammern \(\Delta x\) aus und kürzen:

\(\qquad f'(2)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta x(4 +\Delta x)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\Delta x\to 0}(4 +\Delta x)=4\)

Die Steigung der Funktion \(f(x)=x^2\) an der Stelle \(x_0=2\) beträgt also \(4\).

Die Tangente an die Funktion an der Stelle \(x_0=2\) berechnet sich wie folgt:

\(\qquad t(x)=f'(2)\cdot (x-2)+f(2)\)

Wir setzen den Funktionswert und den bereits berechneten Ableitungswert ein:

\(\qquad t(x)=4\cdot (x-2)+2^2\) \(=4\cdot x-8+4\) \(=4x-4\)

Die Gleichung der Tangente lautet \(t(x)=4x-4\).