Tangenten Beispiel Steigung einer ganzrationalen Funktion
Wir möchten nun die Steigung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades an einer beliebigen Stelle \(x_0\) berechnen. Hierzu betrachten wir die folgende Funktion:
\(\qquad f(x)=x^3+2x+1\)
Wir bilden den Differentialquotienten \(f'(x_0)\):
\(\qquad f'(x_0)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
Wir berechnen zuerst \(f(x_0+\Delta x)\):
\(\qquad f(x_0+\Delta x)=(x_0+\Delta x)^3+2 \cdot (x_0+\Delta x)+1\)
Da \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), können wir wie folgt rechnen:
\(\qquad f(x_0+\Delta x)=(x_0^3+3\cdot x_0^2\cdot \Delta x + 3 \cdot x_0 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3)+2 \cdot (x_0+\Delta x)+1\)
Nun multiplizieren wir die Klammer aus und erhalten:
\(\qquad f(x_0+\Delta x)=x_0^3+3\cdot x_0^2\cdot \Delta x + 3 \cdot x_0 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3+2 \cdot x_0+2\cdot \Delta x+1\)
Dieses Ergebnis setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein:
\(\qquad f'(x_0)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
\(\phantom{\qquad f'(x_0)} =\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{(x_0^3+3\cdot x_0^2\cdot \Delta x + 3 \cdot x_0 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3+2 \cdot x_0+2\cdot \Delta x+1)-(x_0^3+2\cdot x_0+1)}{\Delta x}\)
Wir fassen die Terme zusammen:
\(\qquad f'(x_0)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{3\cdot x_0^2\cdot \Delta x + 3 \cdot x_0 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3+2\cdot \Delta x}{\Delta x}\)
Wir klammern \(\Delta x\) aus und kürzen:
\(\qquad f'(x_0)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta x (3\cdot x_0^2+ 3 \cdot x_0 \cdot \Delta x + (\Delta x)^2+2)}{\Delta x}\)
\(\phantom{\qquad f'(x_0)}=\lim_\limits{\Delta x\to 0}(3\cdot x_0^2+ 3 \cdot x_0 \cdot \Delta x + (\Delta x)^2+2)\)
Nun bilden wir den Grenzwert und erhalten die folgende Ableitung:
\(\qquad f'(x_0)=\lim_\limits{\Delta x\to 0}(3\cdot x_0^2+ 3 \cdot x_0 \cdot \Delta x + (\Delta x)^2+2)=3 x_0^2+2\)
Die Steigung der Funktion \(f(x)=x^3+2x+1\) an einer Stelle \(x_0\) beträgt also \(3 x_0^2+2\).
In der folgenden Animation erhält man durch Bewegen des Punktes entlang der Funktion die Ableitung an dieser Stelle und die dazugehörige Tangente. An der Stelle \(x_0=1\) z.B. lautet die Ableitung \(f'(1)=3 \cdot 1^2 + 2=5\) und die Tangente \(t(x)=5x-1\).
Berechnung der Tangente
Die Tangente an der Stelle \(x_0=1\) berechnet sich wie folgt:
\(\qquad t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) \(=f'(1)(x-1)+f(1)\)
Wir setzen die Funktionswerte ein und erhalten:
\(\qquad t(x)=5\cdot (x-1)+(1^3+2\cdot 1+1)=5x-5+4=5x-1\)
Merke:
Wir können durch Bestimmen des Differentialquotienten für jede ganzrationale Funktion an einer beliebigen Stelle \(x_0\) die Ableitung bestimmen.
Das Ermitteln der Ableitungen über die Definition ist aufwändig und rechenintensiv. Wir werden deshalb in den Kapiteln "Ableitungsregeln" und "Weitere Ableitungsregeln" Rechenregeln kennenlernen, die das Bilden der Ableitung vereinfachen.
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