Die momentane Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x=2\) beträgt \(-1\).

Die momentane Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x=2\) berechnet sich wie folgt:

\(\qquad f'(2)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\)

Wir setzen die Funktionswerte ein und erhalten:

\(\qquad f'(2)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\Big(\dfrac{1}{2}(2+h)^2-3\cdot (2+h)\Big)-\Big(\dfrac{1}{2}\cdot 2^2-3\cdot 2\Big)}{h}\)

Wir multiplizieren die Klammern aus und fassen zusammen:

\(\qquad f'(2)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\Big(\dfrac{1}{2}\cdot(4+4h+h^2)-6-3h\Big)-\Big(\dfrac{1}{2}\cdot 4-6\Big)}{h}\)

Wir fassen die Terme zusammen und vereinfachen:

\(\qquad f'(2)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{2+2h+\dfrac{1}{2}h^2-6-3h-2+6}{h}\)

Wir fassen weiter zusammen:

\(\qquad f'(2)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{2h+\dfrac{1}{2}h^2-3h}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{-h+\dfrac{1}{2}h^2}{h}\)

Wir klammern \(h\) aus und kürzen \(h\):

\(\qquad f'(2)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{h\Big(-1+\dfrac{1}{2}h\Big)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\Big(-1+\dfrac{1}{2}h\Big)=-1\)

Die momentane Änderungsrate von \(f\) an der Stelle \(x=2\) beträgt \(-1\).