Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die folgende Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\): \(\qquad f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) Berechnen Sie den Differentialquotienten von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) und die Tangente an die Funktion an dieser Stelle. Erklärung Lösung: Der Differentialquotient von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) beträgt \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=0\). Die Tangente lautet \(t(x)=0.5\). Schaubild  Erläuterung: Der Differentialquotient von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) berechnet sich wie folgt: \(\qquad f'(1)\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\) Wir setzen die Funktionswerte ein und erhalten: \(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{1+\Delta x}{(1+\Delta x)^2+1}-\dfrac{1}{1^2+1}}{\Delta x}\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{1+\Delta x}{(1+\Delta x)^2+1}-\dfrac{1}{2}}{\Delta x}\) Nun lösen wir die Klammer im ersten Bruch des Zählers auf und fassen zusammen: \(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{1+\Delta x}{1+2\Delta x+(\Delta x)^2+1}-\dfrac{1}{2}}{\Delta x}\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{1+\Delta x}{2+2\Delta x+(\Delta x)^2}-\dfrac{1}{2}}{\Delta x}\) Wir bringen den Zähler auf den Hauptnenner \(4 + 4 \Delta x + 2(\Delta x)^2\): \(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{2(1+\Delta x)}{4+4\Delta x+2(\Delta x)^2}-\dfrac{2+2\Delta x+(\Delta x)^2}{4+4\Delta x+2(\Delta x)^2}}{\Delta x}\) \(\phantom{\qquad f'(1)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{2+2\Delta x-(2+2\Delta x+(\Delta x)^2)}{4+4\Delta x+2(\Delta x)^2}}{\Delta x}\) \(\phantom{\qquad f'(1)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{2+2\Delta x-2-2\Delta x-(\Delta x)^2}{4+4\Delta x+2(\Delta x)^2}}{\Delta x}\) \(\phantom{\qquad f'(1)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\dfrac{-(\Delta x)^2}{4+4\Delta x+2(\Delta x)^2}}{\Delta x}\) Nun lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Nenner des oberen Bruchs mit \(\Delta x\) multiplizieren. Dann kürzen wir \(\Delta x\) und erhalten: \(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{-(\Delta x)^2}{(4+4\Delta x+2(\Delta x)^2)\cdot \Delta x}\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{-\Delta x}{4+4\Delta x+2(\Delta x)^2}\) Wir lassen \(\Delta x\) gegen \(0\) gehen und erhalten den folgenden Differentialquotienten: \(\qquad f'(1)=\dfrac{-0}{4}=0\) Die Tangente an die Funktion an der Stelle \(x_0=1\) berechnet sich nach der folgenden Formel: \(\qquad t(x)=f'(1)\cdot (x-1)+f(1)\) Wir setzen für \(f'(1)\) den bereits berechneten Differentialquotienten an der Stelle \(x_0=1\) ein und den Funktionswert \(f(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}\) und erhalten hiermit: \(\qquad t(x)=0\cdot (x-1)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\) Die Tangente an die Funktion in \(x_0=1\) lautet also: \(\qquad t(x)=\dfrac{1}{2}\) |  |
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