Der Differentialquotient von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) beträgt \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=0.5\).

Die Tangente lautet \(t(x)=0.5x+0.5\).

Der Differentialquotient von \(f\) an der Stelle \(x_0=1\) berechnet sich wie folgt:

\(\qquad f'(1)\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)

Wir setzen die Funktionswerte ein und erhalten:

\(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+\Delta x}-1}{\Delta x}\)

Nun erweitern wir den Bruch mit \((\sqrt{1+\Delta x}+1)\), um den Zähler durch Anwendung der 3. binomischen Formel rational zu machen:

\(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{(\sqrt{1+\Delta x}+1) \cdot (\sqrt{1+\Delta x}-1)}{(\sqrt{1+\Delta x}+1)\cdot\Delta x}\) \(=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{(\sqrt{1+\Delta x})^2-1}{(\sqrt{1+\Delta x}+1)\cdot\Delta x}\)

\(\phantom{\qquad f'(1)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{1+\Delta x-1}{(\sqrt{1+\Delta x}+1)\cdot\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta x}{(\sqrt{1+\Delta x}+1)\cdot\Delta x}\)

Wir kürzen \(\Delta x\) und erhalten:

\(\qquad f'(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{1+\Delta x}+1}\)

Wir lassen \(\Delta x\) gegen \(0\) gehen und erhalten den folgenden Differentialquotienten:

\(\qquad f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)

Die Tangente an die Funktion an der Stelle \(x_0=1\) berechnet sich nach der folgenden Formel:

\(\qquad t(x)=f'(1)\cdot (x-1)+f(1)\)

Wir setzen für \(f'(1)\) den bereits berechneten Differentialquotienten an der Stelle \(x_0=1\) ein und den Funktionswert \(f(1)=\sqrt{1}=1\) und erhalten hiermit:

\(\qquad t(x)=\dfrac{1}{2}\cdot (x-1)+1=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\)

Die Tangente an die Funktion in \(x_0=1\) lautet also:

\(\qquad t(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\)