Differenzierbarkeit einer Funktion Beispiel einer nicht-stetigen Funktion
Oft existieren jedoch nicht einmal die einseitigen Ableitungen. Das möchten wir an einem Beispiel demonstrieren.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\), die wie folgt definiert ist:
\(\qquad f(x)=\Bigg\{\begin{array}{l l} 1 & \textsf{für} & x\ne 0\\0 & \textsf{für} & x=0\end{array}\)
und die Stelle \(x_0=0\).
Für den Differenzenquotienten erhalten wir:
\(\qquad \dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\dfrac{1}{\Delta x}\)
Und damit existiert der Grenzwert für \(\Delta x \to 0\) nicht – auch nicht als einseitiger Grenzwert.
Es gilt allgemein die folgende Aussage:
Satz:
Ist eine Funktion \(f:D\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) differenzierbar an einer Stelle \(x_0\), so ist \(f\) auch stetig an der Stelle \(x_0\).
Ist also die Funktion unstetig an einer Stelle \(x_0\), so ist sie an dieser Stelle auch nicht differenzierbar.
Die Funktion aus obigem Beispiel ist unstetig an der Stelle \(x_0=0\), kann also dort auch nicht differenzierbar sein.
Die Umkehrung des Satzes gilt übrigens nicht, wie wir aus dem Beispiel der Betragsfunktion sehen können. Die Betragsfunktion \(f(x)=|x|\) ist stetig an der Stelle \(x_0=0\). Sie ist dort aber nicht differenzierbar.
\(\enspace\)