Beispiel einer nicht-stetigen Funktion Beispiel einer differenzierbaren Funktion
Wir betrachten die folgende zusammengesetzte Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\):
\(\qquad f(x)= \Bigg\{\begin{array}{l l} x^2 & \textsf{für} & x\le 1\\-x^2+4x-2 & \textsf{für} & x\gt 1\end{array}\)
Ist die Funktion an der Stelle \(x_0=1\) differenzierbar?
Erläuterung
Die beiden Teilfunktionen der zusammengesetzten Funktion sind ganzrationale Funktionen und daher jeweils auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar. Die Stelle, die wir genauer untersuchen müssen, ist die Stelle, an der die beiden Funktionen zusammentreffen. Wir müssen also die Stelle \(x_0=1\) genauer untersuchen.
Hierzu betrachten wir den Differentialquotienten und bilden den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert. Sind beide Grenzwerte gleich, so ist die zusammengesetzte Funktion an der Stelle \(x_0=1\) differenzierbar.
Wir bilden den linksseitigen Grenzwert:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x} \) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}\)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{\Delta x (2+\Delta x)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}2+\Delta x=2 \)
Wir bilden den rechtsseitigen Grenzwert:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-(1+\Delta x)^2+4(1+\Delta x)-2-1^2}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-(1+2\Delta x +(\Delta x)^2)+4+4\Delta x-2-1}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-1-2\Delta x -(\Delta x)^2+4+4\Delta x-2-1}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-2\Delta x -(\Delta x)^2+4\Delta x}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{2\Delta x -(\Delta x)^2}{\Delta x}\)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\Delta x \cdot (2-\Delta x)}{\Delta x}=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}2-\Delta x=2 \)
Da der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert existieren und beide Werte übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle \(x_0=1\) differenzierbar.
\(\enspace\)