Beispiel einer differenzierbaren Funktion Beispiel einer nicht-differenzierbaren Funktion
Wir betrachten die folgende zusammengesetzte Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\):
\(\qquad f(x)= \Bigg\{\begin{array}{l l} x^2 & \textsf{für} & x\le 1\\-x^2+3x-1 & \textsf{für} & x\gt 1\end{array}\)
Ist die Funktion an der Stelle \(x_0=1\) differenzierbar?
Erläuterung
Die beiden Teilfunktionen der zusammengesetzten Funktion sind ganzrationale Funktionen und daher jeweils auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar. Die Stelle, die wir genauer untersuchen müssen, ist die Stelle, an der die beiden Funktionen zusammentreffen. Wir müssen also die Stelle \(x_0=1\) genauer untersuchen.
Hierzu betrachten wir den Differentialquotienten und bilden den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert. Stimmen die beiden Grenzwerte nicht überein, so ist die zusammengesetzte Funktion an der Stelle \(x_0=1\) nicht differenzierbar.
Wir bilden den linksseitigen Grenzwert:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x} \) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}\)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{\Delta x (2+\Delta x)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}2+\Delta x=2 \)
Wir bilden den rechtsseitigen Grenzwert:
\(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)-1-1^2}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-(1+2\Delta x +(\Delta x)^2)+3+3\Delta x-1-1}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-1-2\Delta x -(\Delta x)^2+3+3\Delta x-1-1}{\Delta x} \)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-2\Delta x -(\Delta x)^2+3\Delta x}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\Delta x -(\Delta x)^2}{\Delta x}\)
\(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\Delta x \cdot (1-\Delta x)}{\Delta x}=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}1-\Delta x=1 \)
Es existieren der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert, ihre Werte stimmen aber nicht überein. Die Funktion ist deshalb an der Stelle \(x_0=1\) nicht differenzierbar.
\(\enspace\)