Beispiel einer nicht-differenzierbaren Funktion Aufgabe 1
Gegeben ist die folgende Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\): \(\qquad f(x)= \Bigg\{\begin{array}{l l} -x-2 & \textsf{für} & x\le 2\\0.5x^2-3x & \textsf{für} & x\gt 2\end{array}\) Ist die Funktion differenzierbar? Erklärung Lösung: Die beiden Teilfunktionen der zusammengesetzten Funktion sind ganzrationale Funktionen und daher jeweils auf ihren Definitionsbereichen differenzierbar. Die Funktion ist auch an der Stelle \(x_0=2\) differenzierbar, da der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=2\) übereinstimmen. Schaubild  Erläuterung: Die beiden Teilfunktionen der zusammengesetzten Funktion sind ganzrationale Funktionen und daher jeweils auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar. Die Stelle, die wir genauer untersuchen müssen, ist die Stelle, an der die beiden Funktionen zusammentreffen. Wir müssen also die Stelle \(x_0=2\) genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir den Differentialquotienten an der Stelle \(x_0=2\) und bilden den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert. Sind beide Grenzwerte gleich, so ist die zusammengesetzte Funktion an der Stelle \(x_0=2\) differenzierbar und somit auch auf ganz \(\mathbb{R}\). Wir bilden den linksseitigen Grenzwert: \(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{(-(2+\Delta x)-2)-(-2-2)}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{-2-\Delta x-2+4}{\Delta x} \) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{-\Delta x}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}-1=-1\) Wir bilden den rechtsseitigen Grenzwert: \(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{0.5(2+\Delta x)^2-3(2+\Delta x)-(-2-2)}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{0.5(4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2)-6-3\Delta x-(-4)}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{2 + 2\Delta x + 0.5(\Delta x)^2-6-3\Delta x+4}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{-\Delta x + 0.5(\Delta x)^2}{\Delta x} \) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\Delta x \cdot (-1 + 0.5\Delta x)}{\Delta x}\) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}(-1+0.5\Delta x)=-1 \) Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert stimmen an der Stelle \(x_0=2\) überein. Die Funktion ist also an der Stelle \(x_0=2\) differenzierbar und somit auch im ganzen Definitionsbereich. |  |
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