Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die folgende Funktion \(f:[1,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\): \(\qquad f(x)= \left\{\begin{array}{l l} \dfrac{1}{x} & \textsf{für} & x\le 4\\\dfrac{x^2}{64} & \textsf{für} & x\gt 4\end{array}\right .\) Ist die Funktion differenzierbar? Erklärung Lösung: Die Funktion ist nicht differenzierbar, da der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0=4\) nicht übereinstimmen. Schaubild  Erläuterung: Die beiden Teilfunktionen der zusammengesetzten Funktion sind auf den gegebenen Definitionsbereichen differenzierbar. Die Stelle, die wir genauer untersuchen müssen, ist die Stelle, an der die beiden Funktionen zusammentreffen. Wir müssen also die Stelle \(x_0=4\) genauer untersuchen. Hierzu betrachten wir den Differentialquotienten an der Stelle \(x_0=4\) und bilden den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert. Sind beide Grenzwerte unterschiedlich, so ist die zusammengesetzte Funktion an der Stelle \(x_0=4\) nicht differenzierbar. Wir bilden den linksseitigen Grenzwert: \(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{\dfrac{1}{4+\Delta x}-\dfrac{1}{4}}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{\dfrac{4}{4\cdot(4+\Delta x)}-\dfrac{4+\Delta x}{4\cdot (4+\Delta x)}}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{\dfrac{4-(4+\Delta x)}{4\cdot(4+\Delta x)}}{\Delta x}\) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{4-4-\Delta x}{4\cdot(4+\Delta x)\cdot \Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{-\Delta x}{4\cdot(4+\Delta x)\cdot \Delta x}\) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{-1}{4\cdot(4+\Delta x)}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \lt 0}}\dfrac{-1}{16+4\Delta x}\) \(=-\dfrac{1}{16}\) Wir bilden den rechtsseitigen Grenzwert: \(\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\dfrac{(4+\Delta x)^2}{64}-\dfrac{1}{4}}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\dfrac{16+8\Delta x+(\Delta x)^2}{64}-\dfrac{16}{64}}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\dfrac{16+8\Delta x+(\Delta x)^2-16}{64}}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}\) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\dfrac{8\Delta x+(\Delta x)^2}{64}}{\Delta x} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{\Delta x \cdot (8+\Delta x)}{64\cdot \Delta x} \) \(=\lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{8+\Delta x}{64} \) \(\phantom{\qquad \lim_\limits{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta x \gt 0}}\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}}\) \(=\dfrac{8}{64}=\dfrac{1}{8} \) Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert stimmen an der Stelle \(x_0=4\) nicht überein. Die Funktion ist also nicht differenzierbar. |  |
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