Wir haben gesehen, dass wir an jeder Stelle \(x_0\) einer Funktion \(f\) den Differentialquotienten, also die Ableitung \(f'(x_0)\), bestimmen können, wenn der Differentialquotient existiert. Betrachten wir nun eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist, an der also an jeder Stelle \(x_0\) die Ableitung \(f'(x_0)\) existiert, dann können wir die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion \(f'(x)\) berechnen.

Hierzu berechnen wir allgemein den Differentialquotienten für eine beliebige, nicht konkret festgelegte Stelle \(x_0\).

Wir betrachten als Beispiel zuerst konstante Funktionen \(f(x)=a\) und danach lineare Funktionen \(f(x)=ax+b\). Da das Berechnen von Ableitungsfunktionen über den Differentialquotienten rechenintensiv und aufwändig ist, werden wir anschließend Rechenregeln kennenlernen, die die Berechnung der Ableitungsfunktion deutlich vereinfachen.

Die einfachsten Funktionen sind die konstanten Funktionen. Sie sind definiert durch \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(f(x)=a\) für ein festes \(a \in \mathbb{R}\).

Es gilt für jedes \(x_0\in\mathbb{R}\):

\(\qquad f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

\(\phantom{\qquad f'(x)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a-a}{\Delta x}\)

\(\phantom{\qquad f'(x)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{0}{\Delta x}=0\)

Es existiert also der Differentialquotient an allen Stellen \(x_0\) und hat dort den Wert \(0\), d.h. es gilt:

\(\qquad f'(x_0)=0\qquad\) für alle \(\quad x_0 \in \mathbb{R}\)

Eine ebenfalls einfache Klasse von Funktionen sind die linearen Funktionen. Sie sind definiert durch \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(f(x)=ax+b\) für feste \(a, b \in \mathbb{R}\).

Es gilt für jedes \(x_0\in\mathbb{R}\):

\(\qquad f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)

 \(\phantom{\qquad f'(x)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a(x+\Delta x)+b-(ax+b)}{\Delta x}\)

\(\phantom{\qquad f'(x)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{ax+a\cdot \Delta x+b-ax-b}{\Delta x}\)

\(\phantom{\qquad f'(x)}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a\cdot \Delta x}{\Delta x}=a\)

Es existiert also der Differentialquotient an allen Stellen \(x_0\) und hat dort den Wert \(a\), d.h. es gilt:

\(\qquad f'(x_0)=a\qquad\) für alle \(\quad x_0 \in \mathbb{R}\)