Ableitungsfunktion Ableitungsregeln
Wir wollen nun Regeln angeben für die Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x_0\) und mithilfe dieser Ableitungsregeln auf die Ableitungsfunktion von Funktionen schließen. Auf eine Herleitung aller Ableitungsregeln verzichten wir.
Ableitungsregeln:
Wir betrachten zwei Funktionen \(f,g : D \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) und ein \(x_0 \in D\). Wir nehmen an, dass \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_0\) differenzierbar sind. Ferner sei \(c\in\mathbb{R}\) eine Konstante.
Dann gelten die folgenden Rechenregeln:
Die Funktion \(h:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x)=c\) ist differenzierbar in \(x_0\) mit
\(\qquad h'(x_0)=0\)
Die Funktion \(h:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x)=c\cdot f(x)\) ist differenzierbar in \(x_0\) mit
\(\qquad h'(x_0)=c\cdot f'(x_0)\)
Die Funktion \(h:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x)=f(x)\pm g(x)\) ist differenzierbar in \(x_0\) mit
\(\qquad h'(x_0)=f'(x_0)\pm g'(x_0)\)
Die Funktion \(h:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x)=f(x) \cdot g(x)\) ist differenzierbar in \(x_0\) mit
\(\qquad h'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)\)
Ist \(g(x_0)\ne 0\) und ist \(I=\{x\in D \ |g(x)\ne 0\}\), so ist die Funktion \(h:I\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) differenzierbar in \(x_0\) mit
\(\qquad h'(x_0)=\dfrac{f'(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g'(x_0)}{g(x_0)^2}\)
Herleitung der Summenregel
Wir zeigen nun, wie sich die Summenregel für die Ableitung der Summe zweier Funktionen mithilfe des Differentialquotienten berechnen lässt. Die Herleitung der Summenregel für die Ableitung der Differenz zweier Funktionen ist Bestandteil von Aufgabe 1.
Um die Differenzierbarkeit der Funktion an der Stelle \(x_0\) nachzuweisen und den Wert der Ableitung der Funktion \(h\) mit
\(\qquad h(x) = f(x) + g(x)\)
an der Stelle \(x_0\) zu berechnen, bilden wir zuerst den Differenzenquotienten:
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}\)
Wir setzen
\(\qquad h(x_0+\Delta x)=f(x_0 + \Delta x)+g(x_0 + \Delta x)\)
und
\(\qquad h(x_0)=f(x_0)+g(x_0)\)
in die Definition des Differenzenquotienten ein und erhalten
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}\) \(=\dfrac{(f(x_0+\Delta x)+g(x_0+\Delta x))-(f(x_0)+g(x_0))}{\Delta x}\)
Wir lösen die Klammern auf und ordnen die Terme im Zähler anders an. Das führt zu
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)+g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}\)
Nun machen wir aus einem Bruch zwei Brüche.
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}+\dfrac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}\)
Wir können nun den ersten Bruch auf der rechten Seite als Differenzenquotienten für \(f(x)\) schreiben und den zweiten Bruch als Differenzenquotienten für \(g(x)\).
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}+\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)
Wir bilden nun den Grenzübergang:
\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}+\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\right)\)
Nach den Rechenregeln für Grenzwerte können wir aus dem Grenzwert einer Summe eine Summe aus zwei Grenzwerten machen, da die beiden Einzelgrenzwerte nach Voraussetzung existieren.
\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)
Wir können jetzt weiter vereinfachen und erhalten
\(\qquad h'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\)
Hiermit haben wir die Summenregel gezeigt.
Herleitung der Produktregel
Wir zeigen nun, wie sich die Produktregel mithilfe des Differentialquotienten berechnen lässt.
Um die Differenzierbarkeit der Funktion an der Stelle \(x_0\) nachzuweisen und den Wert der Ableitung der Funktion \(h\) mit
\(\qquad h(x) = f(x) \cdot g(x)\)
an der Stelle \(x_0\) zu berechnen, bilden wir zuerst den Differenzenquotienten:
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}\)
Wir setzen
\(\qquad h(x_0+\Delta x)=f(x_0 + \Delta x)\cdot g(x_0 + \Delta x)\)
und
\(\qquad h(x_0)=f(x_0)\cdot g(x_0)\)
in die Definition des Differenzenquotienten ein und erhalten
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}\) \(=\dfrac{f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{\Delta x}\)
Wir fügen nun nach dem ersten Summanden den folgenden Term ein:
\(\qquad -f(x_0)\cdot g(x_0+\Delta x)+f(x_0)\cdot g(x_0+\Delta x)\)
Dieser Term hat den Wert \(0\), hat also keine Auswirkungen auf den Wert von \(\dfrac{\Delta h}{\Delta x}\).
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)-f(x_0)\cdot g(x_0+\Delta x)+f(x_0)\cdot g(x_0+\Delta x)-f(x_0)\cdot g(x_0)}{\Delta x}\)
Aus den ersten beiden Summanden können wir den Term \(g(x_0+\Delta x)\) ausklammern und aus den beiden letzten Summanden den Term \(f(x_0)\). Wir erhalten dann
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{(f(x_0+\Delta x)-f(x_0)) \cdot g(x_0+\Delta x)+f(x_0)\cdot (g(x_0+\Delta x)-g(x_0))}{\Delta x}\)
Nun machen wir aus einem Bruch zwei Brüche:
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\cdot g(x_0+\Delta x)+f(x_0)\cdot\dfrac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}\)
Wir können nun die Differenzenquotienten für \(f(x)\) und \(g(x)\) einsetzen und erhalten
\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot g(x_0+\Delta x)+f(x_0)\cdot\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)
Wir bilden nun den Grenzübergang:
\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot g(x_0+\Delta x)+f(x_0)\cdot\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\right)\)
Nach den Rechenregeln für Grenzwerte können wir aus dem Grenzwert einer Summe eine Summe aus zwei Grenzwerten machen.
\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot g(x_0+\Delta x)\right)+\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(f(x_0)\cdot\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\right)\)
Wir wenden erneut Grenzwertsätze für Funktionen an und machen aus einem Grenzwert eines Produkts ein Produkt von zwei Grenzwerten.
\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} g(x_0+\Delta x)+\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(x_0)\cdot\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)
Wir können jetzt weiter vereinfachen und erhalten
\(\qquad h'(x_0)=\underbrace{\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}}_{f'(x_0)}\cdot \underbrace{\lim\limits_{\Delta x \to 0} g(x_0+\Delta x)}_{g(x_0)}+\underbrace{\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(x_0)}_{f(x_0)}\cdot\underbrace{\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta g}{\Delta x}}_{g'(x_0)}\)
Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Differenzierbarkeit von \(g\) an der Stelle \(x_0\) die Stetigkeit von \(g\) an dieser Stelle impliziert. Wir erhalten also:
\(\qquad h'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)\)
Hiermit haben wir die Produktregel gezeigt. Die Quotientenregel wird auf ähnliche Weise hergeleitet.
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