Ableitungsregeln Potenzregel
Diese Ableitungsregeln erleichtern das Ermitteln von Ableitungsfunktionen. Durch wiederholtes Anwenden der Produktregel erhalten wir so z.B. die folgende Potenzregel:
Potenzregel:
Die Funktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^n\) für ein \(n\in\mathbb{N}^*\) ist differenzierbar für jedes \(x\in\mathbb{R}\) und es gilt:
\(\qquad f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)
Beispiel:
Die Funktion \(f(x)=x^2\) ist an jeder Stelle \(x\in\mathbb{R}\) differenzierbar und es gilt:
\(\qquad f'(x)=2\cdot x^{2-1}=2\cdot x\)
Herleitung
Um die Funktion
\(\qquad f(x)=x^2=x\cdot x\)
abzuleiten, benutzen wir die Produktregel und erhalten hiermit
\(\qquad f'(x)=(x)'\cdot x+x\cdot (x)'=1\cdot x+x\cdot 1=2x\)
Beispiel:
Die Funktion \(f(x)=x^3\) ist an jeder Stelle \(x\in\mathbb{R}\) differenzierbar und es gilt:
\(\qquad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2\)
Herleitung
Um die Funktion
\(\qquad f(x)=x^3=x^2\cdot x\)
abzuleiten, benutzen wir die Produktregel und die Ableitung von \(x^2\) aus dem vorherigen Beispiel und erhalten hiermit
\(\qquad f'(x)=(x^2)'\cdot x+x^2\cdot (x)'=2x\cdot x+x^2\cdot 1=2x^2+x^2=3x^2\)
Beispiel:
Die folgende Animation zeigt die obigen Potenzfunktionen und weitere Potenzfunktionen mit ihren Ableitungsfunktionen.
Es werden die Funktionen \(f(x)=x^n\) für \(n\in\{0,1,2,3,4,5\}\) mit ihren Ableitungen dargestellt. Bewegen Sie den Knopf auf dem Schieberegler auf den gewünschten Exponenten \(n\), um die Funktion \(f(x)=x^n\) und ihre Ableitung angezeigt zu bekommen.
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